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1、空间几何体的表面积和体积预习提纲1平面展开图2概念:直棱柱:正棱柱:正棱锥:正棱台:3面积公式:S直棱柱侧 S正棱锥侧 S正棱台侧 S圆柱侧 S圆锥侧 S圆台侧 S球面 相互间的关系:4体积公式:V长方体 V柱体 V锥体 V台体 V球 相互间的关系:空间几何体的表面积和体积教案例1:已知直三棱柱底面各边的比为17109,侧棱长为16 cm,全面积为1440 cm2,求底面各边之长. 例2:正三棱锥底面边长为a,侧棱与底面成45角,求此棱锥的侧面积与全面积.例3:从一个正方体中,如图那样截去4个三棱锥后,得到一个正三棱锥ABCD,求它的体积是正方体体积的几分之几?例4:假设正棱锥的底面边长为a,
2、侧棱长为2a,求对角面的面积和侧面积. 例5:如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积;(2)球的表面积等于圆柱全面积的例6:有三个球,第一个球内切于正方体的六个面,第二个球与这个正方体各条棱都相切,第三个球过这个正方体的各顶点,求这三个球的表面积之比.例7:已知圆锥的全面积是它内切球表面积的2倍,求圆锥侧面积与底面积之比.练习:1.已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半,且AB=BC=CA=2,求球的体积.2.一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上,求此球的体积.例8:求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比. 例9:半径为R的
3、球的内接四面体内有一内切球,求这两球的体积比?空间几何体的表面积和体积教案例1:已知直三棱柱底面各边的比为17109,侧棱长为16 cm,全面积为1440 cm2,求底面各边之长. 分析:这是一道跟直棱柱侧面积有关的问题,从结论出发,欲求底面各边之长,而各边之比已知,可分别设为17a、10a、 9a,故只须求出参数a即可,那么如何利用已知条件去求a呢?生设底面三边长分别是17a、10a、9a,S侧(17a10a9a)16576a设17a所对三角形内角,则cos,sinS底10a9a36a2576a72a21440 解得:a2三边长分别为34 cm,20 cm,18 cm.师此题中先设出参数a,
4、再消去参数,很有特色.例2:正三棱锥底面边长为a,侧棱与底面成45角,求此棱锥的侧面积与全面积.分析:可根据正棱锥的侧面积与全面积公式求得.解:如图所示,设正三棱锥SABC的高为SO,斜高为SD,在RtSAO中,AOSAcos45AOADa SAa在RtSBD中SDS侧3aSDa2. S底a2S全()a2例3:从一个正方体中,如图那样截去4个三棱锥后,得到一个正三棱锥ABCD,求它的体积是正方体体积的几分之几?分析:在准确识图的基础上,求出所截得的每个三棱锥的体积和正三棱锥ABCD的体积即可.解:设正方体体积为Sh,则每个截去的三棱锥的体积为 ShSh.三棱锥ABCD的体积为Sh4ShSh.正
5、三棱锥ABCD的体积是正方体体积的.例4:假设正棱锥的底面边长为a,侧棱长为2a,求对角面的面积和侧面积.解:如图所示,在正四棱锥PABCD中,ABa,PB2a,作PO底面ABCD于O.连结BD,则OBD,且POBC,由ABa,得BDa,在RtPAB中,PO2PB2BO2(2a)2(a)2POa,S对角面POBDa2.又作PEBC于E,这时E是BC的中点PE2PB2BE2(2a)2(a)2PEa S侧4PEBCa2对角面面积为a2,侧面积为 a2. 例5:如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积;(2)球的表面积等于圆柱全面积的证明:(1)设球的半径为R,
6、则圆柱的底面半径为R,高为2R,得S球4R2,S圆柱侧2R2R4R2 S球S圆柱侧(2)S圆柱全4R2+2R26R2 S球4R2S球S圆柱全例6:有三个球,第一个球内切于正方体的六个面,第二个球与这个正方体各条棱都相切,第三个球过这个正方体的各顶点,求这三个球的表面积之比.解:设正方体的棱长为a,则第一个球的半径为 ,第二个球的半径是a,第三个球的半径为a. r1r2r31 S1S2S3123例7:已知圆锥的全面积是它内切球表面积的2倍,求圆锥侧面积与底面积之比.解:过圆锥的轴作截面截圆锥和内切球分别得轴截面SAB和球的大圆O,且O为SAB的内切圆.设圆锥底面半径为r,母线长为l;内切圆半径为
7、R,则S锥全r2rl,S球4R2,r2rl8R2又SOESAO1由得:R2r2代入得:r2rl8r2,得:l3r圆锥侧面积与底面积之比为31.练习:1.已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半,且AB=BC=CA=2,求球的体积.2.一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上,求此球的体积.例8:求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.解:如图所示,等边SAB为圆锥的轴截面,此截面截圆柱得正方形C1CDD1,截球面得球的大圆圆O1.设球的半径O1OR,则它的外切圆柱的高为2R,底面半径为R,则有OBO1Ocot30RSOOBtan60R3RV球R3,V柱R22R2R3V锥(R)23R3R3V球V柱V锥 469师以上题目,通过作球及外切圆柱、等边圆锥的公共截面暴露这些几何体之间的相互关系.让我们继续体会有关球的相接切问题.例9:半径为R的球的内接四面体内有一内切球,求这两球的体积比?解:如图所示,大球O的半径为R;设正四面体ABCD的棱长为a,它的内切球半径为r,依题意BO1aa,AO1a又BO2BO12OO12,R2( aR连结OA,OB,OC,OD,内切球球心到正四面体各面距离为r,VOBCDVOABCVOACDVOAOBVOBCDrrV小球V大球(R)3R3127内切球与外接球的体积比为127.- 6 -