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1、9.4随机抛豆实验估计圆周率n作一个半径为1 的圆及其外切正方形，操作如下：(1) 作坐标点 A (-1,-1)、B (1,-1)、C (1, 1)、D (-1, 1),并且连接线段 AB、 BC、CD、DA。隐藏点A、点B、点C、点D。(2) 以坐标原点 O 为圆心作半径为1 的圆。( 3)在不选择任何对象的情况下,单击工具条中的【放大】工具,增加坐标系的单位 长度。作一个在正方形ABCD内随机出现的点，操作如下：(4)作坐标点E (rand(-1,1), rand(-1,1),如下图所示，设置其“x”拖动参数为：t。(5)跟踪点E,设置点E的跟踪对象颜色为：粉红色。统计实验的总次数、点落在
2、圆内的次数并计算圆周率的近似值。操作如下：( 7)打开测量表达式对话框。(8) 测量表达式sign(t,O)*(mOO1+1),系统自动用m001记录该测量结果。(9) 测量表达式sign(t,0)*(m002+sign(1,m000),系统自动用m002记录该测量结果。(10) 测量表达式4*m002/m001，系统自动用mOO3记录该测量结果。(11) 将变量mOO1对应的测量文本显示格式修改为“抛出豆子的总数量：.0f”；将变 量m002对应的测量文本显示格式修改为“落在圆内的数量：.0化 将变量mOO3对应的测 量文本显示格式修改为“圆周率的估计值： %.15f”。增加控制实验进程的动
3、作按钮，操作如下：(12) 选择点E,增加它的动画按钮，设置，动画运动的频率”为：1,设置参数范围：0 到 0，设置运动类型为：一次运动，设置按钮的名称为：初始化。(13) 选择点E,增加它的动画按钮，设置，动画运动的频率”为：999,设置参数范围: 0到1，设置运动类型为：一次运动，设置按钮的名称为：抛出1000粒豆。拋出1000粒豆抛出豆子的总数目：1000落在圆内的数目:786对实验界面进行修饰，操作如下：(14)隐藏坐标系；选择点E,单击工具条中的【缩小】工具，将点E的大小设置为: 1;隐藏点O与点E之间距离的测量文本；隐藏点E的名字；设置对象的画线或填充颜色。单击【抛出1000 粒豆
4、】按钮，实验完成后，结果如下：圆周率的估计值：3.144000000000000【思考与练习】先阅读下面的短文，然后再动手制作一个通过Buffon投针实验估计圆周率n的实验, 要求平行线之间的距离为d针的长度a不大于d且可以改变。如下图所示：授针次数n- 500次 箍的估计值:警 =3.1442901235相交次数k=216次|k针长 5i= 0+68公元1777年的一天，法国科学家D布丰(D.Buffon 17071788)的家里宾客满堂，原来 他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条 等距离的平行线。接着他又抓出
5、一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距 离的一半。然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧! 不过，请大家务 必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。”客人们不知布丰先生要玩什么把戏，只好客随主意，一个个加入了试验的行列。一把小 针扔完了，把它捡起来又扔，而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌 了将近一个钟头。最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果， 共投针 2212 次，其中与平行线相交的 704 次。总数 2212 与相交数 704 的比值为 3.142。” 说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有
6、意提高声调说：“先生 们，这就是圆周率n的近似值!”众客哗然，一时疑议纷纷，大家全部感到莫名期妙：“圆周率n?这可是与圆半点也不 沾边的呀!”布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道： “诸位，这里用的是概率的原理， 如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到n的更精确的近似值。不过，要想弄清 其间的道理，只好请大家去看敝人的新作了。 ”随着布丰先生扬了扬自己手上的一本或然 算术试验的书。n在这种纷纭杂乱的场合出现，实在是出乎人们的意料，然而它却是千真万确的事实。 由于投针试验的问题，是布丰先生最先提出的，所以数学史上就称它为布丰问题，布丰得出 的一般结果是：如果纸上两平行线间相距为
7、d，小针长为1，投针的次数为n，所以投的针当 中与平行线相交的次数的m，那么当n相当大时有：nu(21n)/(dm)在上面故事中，针长1恰等于平行线间距离d的一半，所以代入上面公式简化得：nn/m 值得一提的是，后来有不少人步布丰先生的后尘，用同样的方法来计算n值。其中最为 神奇的要算意大利数学家拉兹瑞尼(Lazzerini)。他在1901年宣称进行了多次的投针试验，每 次投针数为3408次，平均相交数为2169次，代入布丰公式求得nu3.1415929。这与n的精 确值相比，一直到小数点后第七位才出现不同!用如此轻巧的办法，求得如此高精度的n值， 这真是天工造物! 倘若祖冲之再世，也会为之惊
8、讶得瞠目结舌!不过，对于拉兹瑞尼的结果，人们一向非议甚多，究其原因，也不能说都没有道理，因 为在数学中可以证明，最接近n真值的，分母较小的几个分数是：(1) (22)/7-3.14 (疏率)(2) (333)/(106)-3.1415(3) (355)/(113)-3.1415929 (密率)(4) (103993)/(33102)-3.141592653而拉兹瑞尼居然投出了密率，对于万次之内的投掷，不可能有更好的结果了。难怪有不 少人提出怀疑： “有这么巧吗?”但多数人鉴于拉兹瑞尼一生勤勉谨慎，认为他确实是“碰上了 好运气”。事实究竟如何，现在也无从考查了!现在也许你一定迫不及待地想知道布丰
9、先生投针试验的原理，其实这也没什么神秘，下 面就是一个简单而巧妙的证明。找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离d。可以想象得到，对于 这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。因此，如果圆圈扔下的次数为 n次，那么相交的交点总数必为2n。现在设想把圆圈拉直，变成一条长为nd的铁丝。显然，这样的铁丝扔下时与平行线相 交的情形要比圆圈复杂些，可能有4个交点， 3个交点， 2个交点， 1个交点，甚至于都不 相交。由于圆圈和直线的长度同为nd，根据机会均等的原理，当它们投掷次数较多，且相等 时，两者与平行线组交点的总数可望也是一样的。这就是说，当长为nd的铁丝扔下n次时， 与平行线相交的交点总数应大致为 2n。现在转而讨论铁丝长为1的情形。当投掷次数n增大的时候，这种铁丝跟平行线相交的 交点总数m应当与长度1成正比，因而有：m=k1，式中k是比例系数。为了求出k来，只需注意到，对于l=nd的特殊情形，有m=2n。于是求得k=(2n)/(nd)。 代入前式就有：m(2ln)/(nd)从 而 n(2ln)/(dm)这，就是著名的布丰公式!利用布丰公式，我们还可设计出求：根2 ，根 3，根 5 等数的近似值的投针试验呢! 这 只需把1/d选得等于你那个数就行，不过这时的n要当成知道的。
