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1、1996年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)x2设y(xe2)3，则yx0.1(x.1x2)2dx.微分方程y2y5y0的通解为.(4) 一、31limxsinln(1一)sinln(1-).(5) 由曲线yx1,x2及y2所围图形的面积S.x二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)0时，ex(ax2bx1)是比x2高阶的无穷小，则(B)a1，b1(D)a1，b)内有定义，若当x(，)时设当x(A)a1，b12(C)al，b12
2、设函数f(x)在区间(必是f(x)的(A)间断点(C)可导的点，且f(0)设f(x)处处可导，则(A) 当limf(x)x(B) 当limf(x)x(C) 当limf(x)x(D) 当limf(x)x(B)0(D)，必有limf(x)x，必有limf(x)x，必有xlimf(x)，必有limf(x)x11()1，恒有|f(x)|()连续而不可导的点可导的点，且f(0)0()x2，则x(4)(A)无实根(B)有且仅有一个实根在区间(，)内，方程|x|4|x|2cosx0(C)有且仅有两个实根(D)有无穷多个实根(5)设f(x),g(x)在区间a,b上连续，且g(x)f(x)m(m为常数),由曲线
3、yg(x),yf(x),xa及xb所围平面图形绕直线ym旋转而成的旋转体体积为(A)(B)(C)(D)babababa2mf(x)g(x)f(x)g(x)dx2mf(x)g(x)f(x)g(x)dxmf(x)g(x)f(x)g(x)dxmf(x)g(x)f(x)g(x)dx三、(本题共6小题，每小题5分，满分30分.)计算71dx.0求里.1sinxt2设x0f(u)du，其中f(u)具有二阶导数，且f(u)yf(t2)2,0,求事.(4) ，一1x,求函数f(x)L在x0点处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式.求微分方程yyx2的通解.设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为2a、2b,用过此
4、柱体底面的短轴与底面成一)的平面截此柱体，得一锲形体(如图),求此锲形体的体积V.2四、(本题满分8分)计算不定积分誓x.x2(1x2)五、(本题满分8分)_212x2，x1,设函数f(x)3x，1x2,12x16，x2.写出f(x)的反函数g(x)的表达式；g(x)是否有间断点、不可导点，若有，指出这些点.六、(本题满分8分)设函数yy(x)由方程2y32y22xyx21所确定，试求yy(x)的驻点，并判别它是否为极值点.七、(本题满分8分)设f(x)在区间a,b上具有二阶导数，且f(a)f(b)0,f(a)f(b)0,试证明：存在(a,b)和(a,b),使f()0及f()0.八、(本题满分
5、8分)设f(x)为连续函数，(1)求初值问题yayf(x)，的解y(x)，其中a为正的常数；y、。0k.若|f(x)|k(k为常数)，证明：当x0时，有|y(x)|-(1e).a1996年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.)1【答案】131【解析】y2x/311/,yx02111.32x0323【答案】2【解析】注意到对称区间上奇偶函数的积分性质，有2.1nc175原式X2x“1x1xdx12x,1x1dx【相关知识点】对称区间上奇偶函数的积分性质：a若f(x)在a,a上连续且为奇函数，则f(x)dx0;aaa若f(x)在a,a上连续且为
6、偶函数，则，f(x)dx2f(x)dx.【答案】yexc1cos2xc2sin2x【解析】因为y2y5y0是常系数的线性齐次方程,其特征方程r22r50有一对共轴复根r1,r2x12i.故通解为yec1cos2xc2sin2x(4)【答案】2【解析】因为xk时，sinIn1In1xkkk一k（k为常数）,所以,xx（5）原式limxsinInx【答案】In2【解析】曲线1-,yxlimxxsinIn2的交点是1,2,limxIimx312.x1,_，、yx一（单倜上升）在y2上万,于是21Sx2dx1x21 2,-1-xInx2xIn2-.2 121时、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分1
7、5分.)【答案】【解析】(A)方法1:用带皮亚诺余项泰勒公式.由2.axbx可得方法2:又由2x2!ax2bxx2令0,用洛必达法则应选(A).【答案】(C)【解析】0,!b1.应选(A).limx02x洛limx02xlimexx02axb1b0b1.x.elimx02axbex2alimx0212a2x2.由x0x,20,方法一：首先，当x0时,|f(0)|f(0)而按照可导定义我们考察f(x)f(0)|f(x)|2xxzx1x1xx00(x(20,故应选(C).0),由夹逼准则，f(0)方法二：显然,f(0)0,由|f(x)|,),得手1,x(,0)U(0,)，即啤有界，且xf(0)li
8、m0x0xf(0)xm0故应选(C).方法三：排除法.3令f(x)x,f(0)0,故(A)、(B)、(D)均不对，应选(C).【相关知识点】定理：有界函数与无穷小的乘积是无穷小【答案】(D)【解析】方法一：排除法.例如f(x)x,则(A),(c)不对；又令f(x)ex,则(B)不对.故应选择(D).方法二：由Jimf(x),对于M0,存在x0,使得当xx0时,f(x)M.由此，当xx时，由拉格朗日中值定理，f(x)f(xo)f()(xxo)f(x。)M(xx。)(x),从而有Jimf(x)，故应选择(D).【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足(1) 在闭区间a,b上连续；在开区
9、间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点(ab),使等式f(b)f(a)f()(ba)成立.(4)【答案】(C)11【解析】令f(x)|x|4|x|2cosx，则f(x)f(x),故f(x)是偶函数，考察f(x)在(0,)内的实数个数：11f(x)x4x2cosx(x0).首先注意到f(0)10,f()(-)14(-)210,当0x一时，由零值定2理,函数f(x)必有零点，且由f(x)3 1-x2sinx0,2f(x)在(0,)单调递增，故f(x)有唯一零点.11当x时，f(x)x4x2cosx(jy4($)210,没有零点;)有两个零点因此，f(x)在(0,)有一个零点.又由于f(x
10、)是偶函数，f(x)在(故应选(C).【相关知识点】零点定理:设函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)与f(b)异(即f(a)f(b)0),那么在开区间(a,b)内至少有一点,使f()0.(5)【答案】(B)【解析】见上图，作垂直分割，相应于x,xdx的小竖条的体积微元2.2dV(mg(x)dx(mf(x)dx(mg(x)(mf(x)(mg(x)(mf(x)dx2mg(x)f(x)f(x)g(x)dx,于是Vb2mg(x)f(x)af(x)g(x)dx,故选择(B).三、(本题共6小题，每小题5分，满分30分.)【解析】方法一：换元法.令Jie2xu,则x；ln(1u2),dxdu,所以
11、m22x1edx0哭32-_01u22duu，“311)du1 -1(2 01u11u2u寸32ln11_32ln(2、.3).22)du方法二：换元法.xesint,则xInsint,dxcostlxcdt,x:0In2t:-sint26ln2-.1edx6costsintsintsintdtln(csctcott)|2cost6无ln(273)6方法-:分部积分法和换元法结合原式0ln2exe2x1dxln2.e2x1d(ex)ln2ln2e2xxe.:dxe2x1令ext,则x:0ln2t:12,【相关知识点】dtln(t.t)i-3ln(2.3).1.cscxdx-dxsinxIncs
12、cxcotxdx2.a0时，.22xaInx2(2)【解析】方法一:dx1sinx(1sinx)dx(1sinx)(1sinx)方法二:dx1sinx方法三：换元法.令tan-t,则x21sin2-dxcosx12costanx-dxx1sinxdx2cosx2secxdxdcosx2cosxcosxdx/xx、2(coss%)2secx.dx(1tan；)2x、ta%)(1tan2d(1C.xtan2c.22arctant,dx21t2=dt1t2,sin2tant1_1耳1t(3)【解析】这是由参数方程所确定的函数原式x顽1tantdt(H?,其导数为2t1t2C.1ta2业dyd!dxd
13、xdt2f(t2)f(t2)f(t2)2t4tf(t2),所以d2yd,dy、dtd,2、dt2、1.2()dx(4tf(t2)dx4f(t2)4tf(t2)2t，2、dxdtdxdtf(t)二f(t2)2t2f(t2).f(t2)0处带拉格朗日余项的泰勒展开式为(4)【解析】函数f(x)在Xf(n)(0)nf(x)f(0)f(0)xXn!，一一，1x对于函数f(x)二有,21f(x)12(1x)1,1x2f(x)2(1)(1x)2,f(x)2(1)(2)(1x)3,顼x)nx(n1)!1,(01).f(n)(x)2(1)nn!(1x)(n1)所以f(n)(0)2(1)nn!,(n1,2,3),故f(x)1x12x2x22xn1(1)n2xn(尸/1(01x(1x)n1(5)【解析】方法微分方程yyx2对应的齐次方程yy0的特征方程为1).r2r0,两个根为r10,r21,故齐次方程的通解为ycc2ex.设非齐次方程的特解Yx(ax2bxc),代入方程可以得到a-,b1,c2,3因此方程通解为ygc2ex1x3x22x.33方法二：方程可以写成(yy)x2,积分得yyco,这是一阶线性非齐次微分方3程，可
