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1、高中数学第二章圆锥曲线2.3抛物线复习学案新人教A版选修1-12.3 抛物线自主复习考点清单：抛物线的定义及应用抛物线的标准方程及几何性质考点详情：重点一：抛物线的定义及应用1抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用2利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，此类问题一般情况下都与抛物线的定义有关实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决例题：1若点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的
2、距离小1,则点P的轨迹为( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线 【答案】D【解析】点P到直线x1的距离比它到(2,0)的距离小1,所以等价于点P到直线x2的距离等于它到(2,0)的距离,转化为圆锥曲线的统一定义.本题属于容易题,主要考查学生对圆锥曲线的定义的理解.2已知圆C的圆心与抛物线y24x的焦点关于直线yx对称.直线4x3y20与圆C相交于A,B两点,且|AB|6,则圆C的方程为_. 【答案】x2(y1)210【解析】抛物线y24x的焦点(1,0),圆C的圆心O与抛物线y24x的焦点关于直线yx对称O(0,1).设半径r,点O到直线AB的距离为d,d1,|AB|6r210方程为
3、x2(y1)210.此题是中档题目,处理的关键是弦长、半径、弦心距的关系;也可用弦长公式计算.名师导学：1抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率).2与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.重点二：抛物线的标准方程及几何性质1在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况；2标准
4、方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p0恰恰说明定义中的焦点F不在准线 上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.例题：1已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C相交于A,B两点.若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为_. 【答案】y2=4x【解析】设抛物线方程为y2=2px,将直线y=x代入抛物线方程可得y22py=0,解之得y=0或y=2p,由AB的中点坐标为(2,2)可得2p=4,解之得p=2.抛物线C的方程为y2=4x.2O为坐标原点,F为抛物线C:的焦点,P为C上
5、一点,若,则POF的面积为()A. 2B. C. D. 4 【答案】C【解析】抛物线的图象如图所示,焦点为F(,0),准线方程为l:,由抛物线定义可得,则,代入,可得,故选C.名师导学：1涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性2求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题3抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直
6、线与抛物线交于，则：(1) ；(2)若直线的倾斜角为，则；(3)若F为抛物线焦点，则有. “看到准线想焦点，看到焦点想准线”，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.4直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.巩固练习1设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为_. 2过抛物线x2=2py(p0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B两点,A,B在x轴上的正射影分别为D,C.
7、若梯形ABCD的面积为,则p=_. 3设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=2,则抛物线的方程是( )A.y2=8xB.y2=4xC.y2=8xD.y2=4x 4已知抛物线C:y2=2px(p0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B.若,则p=_. 5设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x1或y=x+1B.或C.或D.或 6设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.()若BFD=90,ABD的面积为,求p的
8、值及圆F的方程;()若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值. 参考答案与解析1.【答案】【解析】据已知可得B(,1),代入抛物线方程得,解得,故点B(,1),由定义点B到焦点的距离等于其到准线的距离,故所求距离为.2.【答案】23.【答案】C【解析】由题意知抛物线的标准方程为y2=2px(p0),又准线方程为x=2,即,p=4,故应选C.4.【答案】2【解析】由题意可得过点M的直线方程为,将代入可得点A的坐标为(,),由可得点B的坐标为(,),代入y2=2px,可得,解得p=6(舍去)或p=2.5.【答案】C过焦点F(1,0)的直线l的方程为或,故应选C.6.【答案】解:()由已知可得BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径.由抛物线定义可知A到l的距离.因为ABD的面积为,所以,即,解得p=2(舍去)或p=2.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y1)2=8.()因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,ADB=90.由抛物线定义知,所以ABD=30,m的斜率为或.当m的斜率为时,由已知可设n:,代入x2=2py得.由于n与C只有一个公共点,故,解得.因为m在y轴上的截距,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.当m的斜率为时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.1
