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1、第三诊分数及也疯用3.1导数的概念及运算基础知识主学习n却识梳理要点讲解深层突破1. 导数与导函数的概念Ay(1) 设函数y= f(x)在区间(a, b)上有定义，xo (a, b)，若 Ax无限趋近于0时，比值 &=f xo | Ax f xoAX无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x= xo处可导，并称该常数A为函数f(x)在 x= xo处的导数(derivative)，记作 f (xo).若f(x)对于区间(a, b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f (x).2. 导数的几何意义函数y= f(x)
2、在点xo处的导数的几何意义，就是曲线y= f(x)在点P(xo, f(xo)处的切线的斜率k，即 k= f (xo).3. 基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x) = C(C为常数)f (x) = 0f(x)= xa( a 为常数)f (x) = a x 1f(x)= sin xf (x) = ,cos_xf(x)= cos xf (x)=_ sin xf(x) = exf (x)=宦f(x) = ax(a0，1)f (x)= axln_af(x)= In x, 1 f (x)=；f(x) = log ax(a0，1)f (x) = l1xln a4. 导数的运算法则若f (x),
3、g (x)存在，则有(1) f(x) (x) = f (X) (x)；(2) f(x) g(x) = f (x)g(x) + f(x)g (x);(3)(g(x)丰 0).5. 复合函数的导数若 y= f(u), u= ax+ b,贝U y x= y u u x,即卩 y x= y u a.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)(1) f (xo)与(f(xo)表示的意义相同.(X )求f (xo)时，可先求f(xo)再求f (xo). ( X )(3) 曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(V )(4) 与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(X )函数 f(
4、x) = sin(x)的导数是 f (x) = cos x. ( X )考点自测快速解答自查自纠11 .(教材改编)f (x)是函数f(x)= 3x3 + 2x+ 1的导函数，贝y f ( 1)的值为 答案 31解析 f(x)= 3x3 + 2x+ 1 , f (x) = x2+ 2. f ( 1) = 3.2 如图所示为函数y= f(x), y= g(x)的图象可能是y = f(x), y = g(x)的导函数的图象，那么答案解析 由y= f (x)的图象知y= f (x)在(0,)上单调递减，说明函数y= f(x)的切线的斜率在(0 ,+)上也单调递减，故可排除又由图象知y = f (x)
5、与y= g (x)的图象在x= xo处相交，说明y= f(x)与y= g(x)的图象在x=xo处的切线的斜率相同，由图知不符合，符合，故正确.nn3 .设函数 f(x)的导数为 f (x)，且 f(x) = f sin x + cos x,贝U f (-) =.答案 2解析 因为 f(x) = f sin x+ cos x,所以 f (x)= f (n) cos x sin x,所以 f(才)=f (icos sinn，即 f(=1,所以 f(x)= sin x+ cos x.f (x) = cos x sin x.故 f (4)= co寸si门才=、2.44 .已知点P在曲线y=吞亍上，a为
6、曲线在点 P处的切线的倾斜角，则 a的取值范围是3 n答案4，n4解析y=而，4ex 4ex 4:y = ex+ 1 2 = e2x+ 2ex+ 1 = x丄丄丄 2e 十 x+ 21 iex0ex+ -x 2,当且仅当 ex= x= 1,ee即 x= 0 时，“=”成立. y 1,0), I tan a 1,0).又 a 0 , n, a3n4 ,Tt .15. (2015陕西)设曲线y= ex在点(0,1)处的切线与曲线 y= -(x0)上点P处的切线垂直，则 Px的坐标为.答案(1,1)1解析 y = ex,曲线y= e*在点(0,1)处的切线的斜率k1= e0= 1，设P(m, n),
7、 y= -(x0)的导x11 1数为y =- X2 (x0)，曲线y= x(x)在点P处的切线斜率k2=- m2 (m0)，因为两切线垂 直，所以kik2= 1，所以m= 1, n = 1,则点P的坐标为(1,1).题型分类深度剖析题型一导数的运算例1求下列函数的导数：(1) y= (3X2 4x)(2x + 1);2(2) y= x2sin x;(3) y= 3xex 2x+ e;In x尸百；(5) y= In (2x 5).解 (1) / y= (3x2 4x)(2x+ 1)=6x3 + 3x2 8x24x= 6x3 5x2 4x,/ y = 18x2 10x 4.(2) y = (x2
8、) sin x+ x2(sin x) = 2xsin x+ x2cos x.(3) y = (3xex) (2x) + e=(3x) ex+ 3x(ex) (2x)=3xexln 3 + 3xex 2xln 2=(ln 3 + 1) (3(e 2xln 2.In x x2 + 1 ln x x2 + 1 (4) y =x21 2- x2+ 1 2xln xx=x2+ 1 2x2 In x=xx2+1 2.(5) 令 u= 2x 5, y= ln u,则 y = (In u) u1 22x 5 = 2x 5即y :22x 5.思维升华(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然
9、后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量. 逐层求导，必要时可换元.(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内摄蘇训练 1(1)f(x) = x(2 016 + In x),若 f他)=2 017，则 xo=.(2)若函数 f(x) = ax4+ bx答案(1)2x y 1 = 0 (2)x y 1= 0解析(1)对y= x2求导得y = 2x.设切点坐标为(X0, x2)，则切线斜率为k= 2x0. 由 2X0= 2 得 X0= 1,故切线方程为 y 1= 2(x 1)，即 2x y 1 = 0. /
10、 点(0, 1)不在曲线 f(x)= xIn x 上,+ c 满足 f (1) = 2,贝V f (- 1)=.答案(1)1(2) 21解析(1)f (x) = 2 016+ In x+ xx 一 = 2 017+ In x,故由 f (xo) = 2 017 得 2 017+ In xo= 2 017,x则 In x0= 0,解得 X0= 1.(2)f (x)= 4ax3 + 2bx, f (x)为奇函数，且 f (1)= 2, f ( 1) = 2.题型二 导数的几何意义命题点1已知切点的切线方程问题例2(1)函数f(x) = In x 2x的图象在点(1, 2)处的切线方程为x曲线y=
11、e 2x+ 1在点(0,2)处的切线与直线y= 0和y= x围成的三角形的面积为 1答案 (1)x y 3 = 0(2)3d y解析(1)f(x) = x ，贝U f (1) = 1,故该切线方程为 y ( 2)= x 1,即卩x y 3= 0.(2)/ y= 2e2x,曲线在点(0,2)处的切线斜率k= 2,切线方程为y= 2x+ 2,该直线与直线y= 0和y= x围成的三角形如图所示，2 2其中直线y= 2x+ 2与y = x的交点为 A(-, 3),3 312 1三角形的面积s= 2 x 1x討3命题点2未知切点的切线方程问题例3 (1)与直线2x y+ 4 = 0平行的抛物线y= x2
12、的切线方程是 .已知函数f(x) = xIn x,若直线I过点(0, 1),并且与曲线y= f(x)相切，则直线I的方程为设切点为(X0, yo).yo= xol n xo, 又/ f (x)= 1 + In x, yo+ 1 = 1 + In xo xo,解得 xo= 1 , yo= o.切点为(1,0), f (1) = 1 + In 1 = 1.直线I的方程为y= x- 1,即卩x-y- 1 = O.命题点3和切线有关的参数问题17例4已知f(x)= In x, g(x)= 2X2+ mx+ 2(mO)，直线I与函数f(x), g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1 , f(
13、1)，贝U m=.答案 21解析/ ff (x)=L,x直线I的斜率为k= f (1) = 1.又f(1) = O, 切线I的方程为y= x 1.g (x)= x+ m,设直线I与g(x)的图象的切点为(xo, yo),则有 xo+ m= 1, yo= xo 1, yo= *爲+ mxo+ 2, m o),过点E作OB的垂线I.记厶AOB在直线I左侧部分的面积为 S,则函数S= f(x)的图象为下图中的 (填序号).答案解析函数的定义域为0 ,+a)，当x 0,2时，在单位长度变化量Ax内面积变化量 AS大于0且越来越大，即斜率 f (x)在0,2内大于0且越来越大，因此，函数S= f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x (2,3)时，在单位长度变化量 Ax内面积变化量 AS大于0且越来越小，即斜率f (x)在(2,3) 内大于0且越来越小，因此，函数S= f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x 3 ,+s )时，在单位长度变化量Ax内面积变化量 AS为0,即斜率f (x)在 3 ,+)内为常数0,此时，函数图象为平行于x轴的射线.思维升华导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(
