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1、数值计算第一次大作业实验目的 以Hilbert矩阵为例，研究处理病态问题可能遇到的困难。内容 Hilbert矩阵的定义是它是一个对称正定矩阵，而且随着n的增加迅速增加，其逆矩阵，这里1) 画出之间的曲线（可以用任何的一种范数）。你能猜出之间有何种关系吗？提出你的猜想并想法验证。用行范数for n=1:50for i=1:nfor j=1:nA(i,j)=1/(i+j-1);B(i,j)=factorial(n+i-1)*factorial(n+j-1)/(i+j-1)*(factorial(i-1)*factorial(j-1)2*factorial(n-i)*factorial(n-j);e
2、ndendresult1=0;for j=1:nresult1=result1+A(1,j);endresult1=log(result1);result2=0;for i=1:nfor j=1:nresult2=B(i,j)+result2;endresult(i)=log(result2);endm=max(result);x(n)=result1+m;endplot(1:50,x)对于更大的n值，由于Hilbert逆矩阵中的元素过大，溢出，故在此取50以内的n。图1 关系曲线图猜想之间存在线性关系验证：设在以上程序基础上，再添加; y=x; l=1:40; k=l; p=polyfit(
3、k,y,1) %一次多项式拟合p =3.5446 -3.0931% P=polyfit(k,y,2) %二次多项式拟合p = -0.0008 3.5778 -3.3253% P=polyfit(k,y,3) %三次多项式拟合 0.0000 -0.0033 3.6198 -3.4777% P=polyfit(k,y,4) %四次多项式拟合-0.0000 0.0002 -0.0082 3.6654 -3.5815% P=polyfit(k,y,5) %五次多项式拟合p = 0.0000 -0.0000 0.0007 -0.0156 3.7107 -3.6542从上式可以看出，高次项系数相对于一次项
4、和常数项系数要小很多，所以取2）设是的对角线元素开方构成的矩阵。，不难看出依然是对称矩阵，而且对角线元素都是1。把变成的技术称为预处理。画出之间的曲线（可以用任何一种范数）。你能对于预处理得出什么印象？本小题用2范数 clear n=500; c=; for k=2:nH=hilb(k);D=diag(sqrt(diag(H);D1=inv(D);H1=D1*H*D1;c=c,cond(H1)/cond(H);endC=log(c);k=2:n;plot(k,C,r-)图 2 随n的变化曲线图从图中给出了函数的变化曲线。我们观察到随着Hilbert矩阵阶数的增大，函数值在-6,4区间波动，主要
5、集中在-3,1区间。我们知道在时，有，在上图中，我们可以容易观察到，对于大部分，函数值都是小于或者等于零的，这说明经过预处理后的地条件数较小，由于条件数愈大，方程组的病态愈严重，也就愈难得到方程组比较准确地解，所以预处理在一定程度上改善了原Hilbert矩阵的特性。3）对于，给定不同的右端项。分别用以及，求解，比较计算结果。取n=4，b=1;2;3;4 b=1,2,3,4; H=hilb(4); H1=inv(H); x1=H1*bx1 = 1.0e+003 * -0.0640 0.9000 -2.5200 1.8200 D=diag(sqrt(diag(H); D1=inv(D); H2=D
6、1*H*D1; H3=inv(H2); x2=D1*H3*D1*bx2 = 1.0e+003 * -0.0640 0.9000 -2.5200 1.8200x3=Hbx3 = 1.0e+003 * -0.0640 0.9000 -2.5200 1.8200同理，当n=5时，b=1;2;3;4;5x1 = 1.0e+004 * 0.0125 -0.2880 1.4490 -2.4640 1.3230x2 = 1.0e+004 * 0.0125 -0.2880 1.4490 -2.4640 1.3230x3 = 1.0e+004 * 0.0125 -0.2880 1.4490 -2.4640 1.
7、3230当n=6时，b=1;2;3;4;5;6x1 = 1.0e+005 * -0.0022 0.0735 -0.5712 1.6632 -2.0160 0.8593x2 = 1.0e+005 * -0.0022 0.0735 -0.5712 1.6632 -2.0160 0.8593x3 = 1.0e+005 * -0.0022 0.0735 -0.5712 1.6632 -2.0160 0.8593当n=7时，b=1;2;3;4;5;6;7x1 = 1.0e+006 * 0.0003 -0.0161 0.1777 -0.7728 1.5593 -1.4636 0.5165x2 = 1.0e
8、+006 * 0.0003 -0.0161 0.1777 -0.7728 1.5593 -1.4636 0.5165x3 = 1.0e+006 * 0.0003 -0.0161 0.1777 -0.7728 1.5593 -1.4636 0.5165当n=8时，b=1;2;3;4;5;6;7;8x1 = 1.0e+007 * -0.0001 0.0032 -0.0469 0.2818 -0.8316 1.2757 -0.9754 0.2934x2 = 1.0e+007 * -0.0001 0.0032 -0.0469 0.2818 -0.8316 1.2757 -0.9754 0.2934x3
9、 = 1.0e+007 * -0.0001 0.0032 -0.0469 0.2818 -0.8316 1.2757 -0.9754 0.2934当n=9时，b=1;2;3;4;5;6;7;8;9x1 = 1.0e+007 * 0.0001 -0.0058 0.1095 -0.8649 3.4685 -7.6684 9.4594 -6.0952 1.5972x2 = 1.0e+007 * 0.0001 -0.0058 0.1095 -0.8649 3.4685 -7.6684 9.4594 -6.0952 1.5972x3 = 1.0e+007 * 0.0001 -0.0058 0.1095
10、-0.8649 3.4685 -7.6685 9.4595 -6.0952 1.5972当n=10时，b=1;2;3;4;5;6;7;8;9;10x1 = 1.0e+008 * -0.0000 0.0010 -0.0233 0.2330 -1.2107 3.5942 -6.3224 6.5105 -3.6228 0.8406x2 = 1.0e+008 * -0.0000 0.0010 -0.0233 0.2330 -1.2107 3.5943 -6.3227 6.5108 -3.6229 0.8406x3 = 1.0e+008 * -0.0000 0.0010 -0.0233 0.2330 -
11、1.2108 3.5947 -6.3233 6.5114 -3.6232 0.8407当n=11时，b=1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11x1 = 1.0e+009 * 0.0000 -0.0002 0.0046 -0.0564 0.3674 -1.3991 3.2758 -4.7725 4.2140 -2.0629 0.4294x2 = 1.0e+009 * 0.0000 -0.0002 0.0046 -0.0567 0.3687 -1.4038 3.2861 -4.7867 4.2259 -2.0685 0.4305x3 = 1.0e+009 * 0.0000 -0.0002
12、0.0046 -0.0567 0.3687 -1.4037 3.2858 -4.7862 4.2255 -2.0682 0.4305当n=12时，b=1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12 Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.692153e-017.x1 = 1.0e+010 * -0.0000 0.0000 -0.0007 0.0110 -0.0886 0.4225 -1.2686 2.4585 -3.0691 2.3821 -1.0452 0.1980x2 = 1.0e+010 * -0.0000 0.0000 -0.0009 0.0133 -0.1055 0.4975 -1.4788 2.8408 -3.5190 2.7127 -1.1831 0.2229x3 = 1.0e+010 * -0.0000 0.0000 -0.0008 0.0123 -0.0978 0.4630 -1.3817 2.6636 -3.3099 2.5586 -1.1187 0.2113由此可见，当n较小时，三种
