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1、1.1求周期方波（图1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式）。画出频谱图ICJ3 ;队一3图 并与表1-1对比。解：傅立叶级数的复指数形式表达式：X（t） = 1 C ej知;n = 0, 1,2,3,.n = s式中:C = LJ 2 X(t)e-jg0tdt =n T -弋TI(- A) e - jn 0tdt + I 2 Ae - jn 0dtT-002-jAjA+ n兀X2-jn 兀 + e jn 兀=T0-2一 cos n 兀）_ j ； n = 1, 3, 5,=1n兀I 0 ; n = 2,4,6, 所以：x (t) = - j e jn 吨；n = 1, 土 3, 土 5, 土
2、7,- I n兀Jn = -s幅值频谱:相位频谱:=X-C 2nR+ C 2nI中=arctgnCnICnR= arctg-;n =侦耳2兀;n = 一 1,-3,5,. -IT0 X T0Xrms:IT 0 x 2 (t) dt =t 00 fT0 (x sin w dt dt = r= 02t *001.3求指数函数解：X(t) = Ae -a;(a 0;t 0)的频谱。1.4求符号函数=j+x (t)e - j2nft dt = f + 8-80Ae 一a * e 一j 2 5 dt =a + j 2 兀 f（题图1-1a）和单位阶跃函数（题图1-1b）的频谱.解:1）符号函数的频谱:傅
3、立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。1.2求正弦信号x（t）=x0sin。的绝对均值此和均方根值x rms解：. 一,. 2 Xsin w tdt = b;式 中:00兀令:lim e 2 x (t)ar 0X 1( f)lim f j0 ear 0 I -s1、-a 仕-j 2&t/jnf2)单位阶跃函数的频谱:x (t) = lim e a x (t)a r 0X 2(f ) = jx (t) e -j 1 2 听 dt = limLI1.5求被截断的余弦函数cos%t (题图1-2)的傅立叶变换。f cos w 0t; It I T解：X (f) = j+s x(t
4、)e - j2倾 dt-sj + T L-T 2I + T=j cos-T-j2 f t + e j2 01 - j 2 Mdt2 兀f te - j 2 时 dt0sin 兀(f + 八)2T兀(f + f )2TT kin c - 91sin 兀(f -八)2T 兀(f - f )2T 00+ sin c - 9 1.6求指数衰减振荡信号解：(见图 1-11b)：x(t) = e-a sin w t;(a 0, t 0)的频谱+s+s f) - j 2 nftX (f ) = j+ x (t) e - j 25 dt = j+ e -a t sin 2 兀 f t)edt00-sj+s e
5、 -at . j fe - j 2%)t - e j 2nf0l ) - j2nftdt 022 1a + j 2 兀(f + f ) a + j 2 兀(f - f ) J001.7设有一时间函数拘)及其频谱(题图1-3所示)，现乘以余弦型振荡cos%t，(%淑m)。 在这个关系中，函数f(t)叫做调制信号，余弦型振荡cos/t叫做载波。试求调幅信号 f(t)cos%t的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问：若气v/m时将会出现 什么情况？mX (f ) = j+s x (t) e -j 2兀 dt = j+sf (t)cos 2nf t . e - j 2 nf dt-s-s解：-e
6、 - j 2 edtj+s-s 当%时，将会出现频率混叠现象1.8求正弦信号x(r)=xQsin (刃0t+q)的均值此和均方值队2和概率密度函数p(x) 解：将x(t)=x0sin (刃0t+q)写成(刃0t+q)=arcsin(x(t)/ %J等式两边对x求导数：1dt1x0dx to011,/八、21,x (t )v1 - l (t)= 0.5 sin(0t + 90。)+ 0.2 sin(00 t + 45。) 0 J 7 x2 - x2 (t)1 p (x) = lim A x t 0 xT 12 A tlim -r = lim TA x t 0 A x T2 dt1 . ,-T d
7、x 兀 1： x2 - x2 (t)，问幅值2.2用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s，2s，5s的正弦信 误差将是多少？解：H (to )= 1 j tto + 11 K (to ) 0.35 to j + 1X (to)A (to) =1I1 +(0.35 to )20.41 A，误差为59%当 T=1s 时，A (to )= 0.41，即 A当 T=2s 时，A(to 2)= 0.67，误差为 33% 当 T=5s 时，A (to 3 )= 0.90，误差为 8%2.3求周期信号x (t )=0.5 cos 10 t + 0.2 cos00 t - 45。)，通过传递
8、函数为H (s) =0.05 s + 1的装置后所得到的稳态响应。解：利用叠加原理及频率保持性解题A (to) =11 + (tto )211 +(0.0 0 5TO)2，川)= -arctg(0.005 to)to = 10，A (to )= 1，(to ) 2.86。x(t )= 0.5 x 1 - sin(0t + 90。- 2.86。)，w = 1 00，A(w )= 0.89 ，0(w )= -26 .57。y(t2 )= 0.2 x 0.89 - sin (。0 t - 26 .57。+ 45。)y (t)= 0.5 sin (。t + 87 .14。)+ (-0.178 ) si
9、n (。0 t + 18 .43。)2.7将信号 cos w t 输入一个传递函数为H (s)=2 s的一阶装置后，试求其包括瞬态过程+ 1在内的输出y (t)的表达式。解： X ( )= cos (w t )= sin (w t + 90。)H (s ) =，A (w ) = .，rs + 11 + (zw )2y (t) = -,= sin w t + 90。一 arctg Gw )：1 + (rw )2cos (w t - arctg rw ) 1 + Gw )22.8求频率响应函数、(3155072)的系统对正弦输入(1 + 0.01 jw )(1577536 + 176 jw - w
10、 2 )x (t )= 10 sin (62.81)的稳态响应的均值显示。解：写成标准形式(jzw + 1 )1 jw )2 + 2gw_(jw )+ w 2 (1256 )212(0.01 jw + 1) 1 w 2 )+ 2 x 1256 & (jw )+(1256 )2A (w) =:=x：1 +(62.8 x 0.01 )21 -2176+1577536=1.69 x 0.99 = 1.7对正弦波，uXA1.7 x 10v2=12的两个环节串联后组2.9试求传递函数分别为蜓和41地2S 2 + 1.4w S 2 + w 2 S 2 + 1.4w S 2 + w 2成的系统的总灵敏度(不
11、考虑负载效应)解：H (w )= H (w ). H (w )1.53H1(w)= 7777, S广341w 2一H 2(W)= S 2 + 1.4 w 527 2 = 41nnS = S1 . S 2 = 3 X 41 = 1232.10想用一个一阶系统作100Hz正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在5%以内，则时间 单常数应去多少？若用该系统测试50Hz正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？解：由振幅误差A(w ) 95 %即 A (w)= 95 % ,1 + Gw )21.= 0.95 ， t = 5.23 x 10 -4 sV1 + (2 兀 X 100 t )2当 w = 2兀f
12、 = 2兀 x 50 = 100 兀，且t = 5.23 x 10 -4 s 时A (w ) =1 * 98 .7%;1 + k.23 x 10 -4 x 100 兀上.此时振幅误差E = 1 - 98 .7% = 1.3%1棉)= arctg 4.23 x 10 -4 x 100 兀)* 9.34.1解:日=2pm时，单臂，UU = x 2 x 2 x 6 * 3 = 3 乂 质-6 (y) y4 x 120双臂，ARU = y 2 R0-u0S R U =8U2R0U = 2 x 2 X 2 X 10 6 * 3 = 6 x 10 -6 (V )，2 x 120日=2000pm 时，单臂，
13、ARU = 4 R U 00S R y4 R02 x 120 x 2000 x 10 - 6U =*3 = 3 x 10 -3(V )双臂，UyS - R y 2 Ru 2 x 120 x 2000 x 10 -6 * 36 i0 3 Vy2 x 120x ( )双臂的灵敏度比单臂的提高一倍。4.4 解：u = U0S R y R 0U = S (A cos 10 t + B cos 100 t) E sin 10000 tS - AE cos 10 t sin 10000 t + S - BE cos 100 t sin 10000 t11=-S AE (sin 10010 t + sin 9990 t) + - S BE (sin 10100 t + sin 9900 t)1+ -jS4=1 jS AE 8 (f + 也虬)4 g2兀10100BE 8 (f + 2兀10100)-8 (f81001089990899902兀9900+) + 8 (f -2兀2兀9900)2兀4.5 解：x = (100
