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1、第九章薄板的弯曲问题9-1有关概念及计算假定9-2弹性曲面的微分方程9-3薄板截面上的内力9-4边界条件扭矩的等效剪力9-1有关概念及计算假定一、基本概念中面：平分板厚度方的平面简称为中面。0,这样的板称为薄板。薄板：板的厚度方远小于中面的最小尺寸薄板的弹性曲面：薄板弯曲时，面所弯成的曲面。挠度：薄板弯曲时，中而内各点在垂直于中而方向的位移。y 图919-1有关概念及计苏假定计算假定：薄板的小挠度弯曲理论，三个计算假定。巳二0由儿何方程可得(1) 垂直于中面方向的正应变可以不计。一 =0八w = wlx.y) dz也就是说，在中而的任意一根法线上 相同的位移，其值等于挠度。图91具有 薄板全厚
2、度内所有各点都与梁的弯曲相似，在梁的任意一横截面上, 其值等于轴线的挠度。所有各点都具有相同的位移,9-1有关概念及计算假定(2)应力分量和b.远小于其余三个应力分量，因而是次要的，们所引起的形变可以不计。但它们本身是维持平衡所必需的，不能不计。所以有：匚=64 = 这里与梁的弯曲相同之处，也有 不同之 处，梁的弯曲我们只考虑横截 而，板的弯曲有 两个方向，要考虑两 个横截面上的应力。9-1有关概念及计算假定结合第一假定，可见中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成 为弹 性曲面的法线。由于不计b.所引起的形变，所以其物理方程与薄板平面问题中的物理方S = L ( b - zzcr I (cr
3、 Licy )/八八 e( (9(92工T Ixy程是相同的。9-1有关概念及计算假定(3)薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即 ：(wX=o = o (vL=o = o所以由几何方程可以得出：(认。=, (巴 L= 0 (/ L。二。也就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成弹性曲面的一部分，但它在A7面上投影的形状却保持不变。加gm番涎9-2弹性曲面的微分方程9-2 弹性曲面的微分方程未知函数。薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解的，挠度为基本用 VV 表示其它未知函数：（ 1 ）纵向位移： u , V 2） 主要应变分量：4Sy,rxy 3） 3） 主要应力分量： 4） 次要应力分量：Tz
4、xATzy利用空间问题的基本方程、边界条件和三个假定。 5） 5） 更次要应力分量： 7怎么表示?代入儿何方程（7-8）（1）用挠度w表示纵向位移由假定(2)矢口 YZx = 0, 丫刃=0du dw+ = 0-+=0, dz dx dy dz dw dv移项，积分：v =-空-z +拆（兀，y）,dwW =Z+ f2 (X,y)dxdw乙应用假定（3）矢口，/（%,歹）=o, A （%, y）二 odwv = 乙 u =-zdvdx(2)用挠度 W表示主要应变分量：8x,8 x.Yxx把X-竺乙比二-色弋代入儿何方程 （7-8）9-2弹惨dy乙曲面的微分方程dxdudxdvav(xyd2w
5、dx2d2wsyduF=dx dy-zd2w-2 dxdy9-2弹T置乙曲面的微分方程(3)用挠度w表示主要应力分量cr _,cr ., 7 xy xy 由物理方程(9-2)知(9-2)b,= r j(s + g)1 口ET = /心2 ( 1 + *把(a)代入物理方程Ez (d 2wb r = _ i rTji- 1 兀 5 )(9-4)Ez ( d 2w d2w y 6=_ F TT + /Z1- g Ox )9-2弹，置乙曲面的微分方程Ez1 + /z dxdy（4）用挠度w表示次要应力分量T：，仁，dxx yzdz dx Sy dz dy利用平衡微分方程（7-1）的前两式（不考虑体力
6、）把（9-4）代入上式(dv+3 dx dxdydTzy = EZLdz 1 一 2Vw+ t dy dydx旦2Vs1 一 一 dy 9-2弹性曲面的微分方程将上两式积分Ez2 d .V vv + F (x, y) dx2(1)EfV 2 vv + F2 (x, y)2(1-/)勿利用应力边界条件确定函数F,(x,y), F2(x,y)板上下边界的应力边界条件TzxAzy表达式为:5nd w4 J dxV w 4 y(9-5).畀0为蝉篇则载一（5）用挠度w表示更次要应力分量b二利用平衡微分方程 （7-1）的第三式（不考虑体力）dzdxdy(C)将应力分量 (9 5)代入 (c)24-z V
7、 w饭 2( 1 -上式对 Z 积分CT = 2(1-/-2 Zz43、V4w+ 化( “)-3 J(e)利用板下板而的边界条件确定待定函数属（兀）下板而的应力边界条件：（b）=0求出属（兀，y）代入（e）2ECT 2(1) _ 4、z eS6(1 -”2)(2r j2 z -2 Jif31 Z、32、35乙-KV)wS)V4yv(9-6)Z、下面推导W的微分方程利用薄板的上板面的应力边界条件 (刀)一？ = -q(f)J2其中朋 是薄板单位面积内的横向载荷，包括横向面力和横向体力。9=7(9一8(9-90E63D =D：薄板的弯曲刚度，量纲lMT2 ,(9-8):薄板的弹性曲面微分方程小结：
8、(1)推导过程满足空间问题的平衡微分方程、儿何方程和上下板面 的只要应力边界条件。的位移边界条件(2)弹性曲面微分方程(9-8) +主要边界的应力边界条件+侧而 I -W(3)根据(9-4) (9 一 6)求得应力分量。板弯曲问题按位(4)弹性曲面微分方程(9-8) +侧面的位移边界条件，构成了薄 移求解的一般提法。9-3 薄板横截面上的内力9-3薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力(薄板内力)是指薄板横截面的单位宽度上，由应力合成的主矢量和主矩。5/2取图(9-2)所示的微元yz面上的应力:7v,Tvv,r图9-2下面就一个一个分析它们合成的主矢量个主矩XZ面上的应力：9-3 薄板横截面上的
9、内力(1)应力分量5由公式(9-4)矢口 , 6工合成的主矢量为零;对中面合成的弯矩M = zcy dz X J-5/2 x把(9-4)代入上式E ( d2W 0 2 W ) r 5/22M = 7+ 7 f Zdzd2w八ES3 (d2wHH12(1- “ 2) I X(a)2) 应力分量和由公式 0-4) 知, Jy 合成的主矢量为零应力分量。、 合成横截而内的扭矩八 /2把 ( 9-4) 代入上式E d2w c 5/2ES3扩 w(b9-3薄板横截面上的内力12(1 + )dxdy芒/2Fsx -2(1-/)dxJ -3/22小Z4)dz9-3薄板横截面上的内力(2)应力分量冬应力分量只
10、可能合成横向剪力，在单位宽度上Fsx -将(9-5)的第一式代入，并对 z积分ES3 d 9V W dx12(1-/)同理，在XZ而上（y为常量），？，、也分别合成弯矩、 扭矩和横向剪力。Mw yx12(1)?冲2言丁？叫皿=-12（1 +ES3 (d2w+ LIESy d2w=M dxd yd2w八dx2xy(f)F = J5/2 T dz =sv k V 12将(9-9)代入(a)一(99)ES3D -12(1(d2vvM =-D (d2w52vv “ r+ “dxJxyF,= Sx-DV2W, Fs= -D V2vv OxSydy$9-3薄板横截面上的内力薄板内力正负方向的规是M图9-3% ; / %Je - WZI一(9- 6 v 年 (8- 6M?M gff(g- 6足 1 寸6太二必RK金H忸减案黑泼816 心劝和A9-3薄板横截面上的内力应力分量crx,cry,ixy的最大值发生在板面；应力分量TxzAyz的最大值发生在板的中面；应力分量7的最大值发生在板的上而；ZX /、叫22 O|6性I2 F|6M .52 =-2（坯）J = -C23F（方） 一律一I=29Jj = g25
