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1、一、等差数列1.等差数列的定义：d为常数；2等差数列通项公式： ， 首项:，公差，末项: 推广： 从而；3等差中项1如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或2等差中项：数列是等差数列4等差数列的前n项和公式：其中A、B是常数，所以当d0时，是关于n的二次式且常数项为0特别地，当项数为奇数时，是项数为21的等差数列的中间项项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项5等差数列的判定方法 1 定义法：假设或(常数) 是等差数列 2 等差中项：数列是等差数列 数列是等差数列其中是常数。4数列是等差数列,其中A、B是常数。6等差数列的证明方法 定义法：假设或(常数) 是等差数列7.提醒：1等差数
2、列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为根本元素。只要这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。2设项技巧：一般可设通项奇数个数成等差，可设为，公差为；偶数个数成等差，可设为，,注意；公差为28.等差数列的性质：1当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.2假设公差，那么为递增等差数列，假设公差，那么为递减等差数列，假设公差，那么为常数列。3当时,那么有，特别地，当时，那么有.注：，4假设、为等差数列，那么都为等差数列(5) 假设是等差数列，那么 ，也成等差数列 6数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为
3、等差数列7设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和时，2、当项数为奇数时，那么其中是项数为21的等差数列的中间项8、的前和分别为、，且，那么.9等差数列的前n项和，前m项和，那么前项和(10)求的最值法一：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。法二：1“首正的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和即当 由可得到达最大值时的值 2 “首负的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。即 当 由可得到达最小值时的值或求中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取
4、离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值或最小值。假设S p = S q那么其对称轴为注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：根本量法：即运用条件转化为关于和的方程；巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量二、等比数列1. 等比数列的定义：，称为公比2. 通项公式：， 首项：；公比：推广：， 从而得或3. 等比中项1如果成等比数列，那么叫做与的等差中项即：或注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个两个等比中项互为相反数2数列是等比数列4. 等比数列的前n项和公式：(1) 当时， (2) 当时，为常数5. 等比数列的判定方法1用定义：对任意的n,都有为等比
5、数列 2 等比中项：0为等比数列3 通项公式：为等比数列4 前n项和公式：为等比数列6. 等比数列的证明方法依据定义：假设或为等比数列7. 注意1等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为根本元素。只要这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。2为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；如奇数个数成等差，可设为，公比为，中间项用表示；8. 等比数列的性质(1) 当时等比数列通项公式是关于n的带有系数的类指数函数，底为公比前n项和，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比(2) 对任何,在等比数列中,有,特别的,当1时,便得到等比数列的通项公式.
6、因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3) 假设 (m, n, s, t),那么.特别的,当2k时,得注：(4) 列,为等比数列,那么数列, (k为非零常数) 均为等比数列.(5) 数列为等比数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等比数列(6) 如果是各项均为正数的等比数列,那么数列是等差数列(7) 假设为等比数列,那么数列，成等比数列(8) 假设为等比数列,那么数列, , 成等比数列(9) 当时， 当时，当1时,该数列为常数列此时数列也为等差数列; 当q0时,该数列为摆动数列.(10)在等比数列中, 当项数为2n (n)时,. (11)假设是公比为q的等比数列,那么三、等差数列与等比
7、数列性质的比拟等差数列性质等比数列性质1、定义；,2、通项公式3、前n项和4、中项a、A、b成等差数列；是其前k项与后k项的等差中项，即：=a、A、b成等比数列不等价于，只能;是其前k项与后k项的 等比中项，即：5、下标和公式假设,那么特别地,假设2p,那么假设,那么特别地,假设2p,那么6、首尾项性质等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首尾两项的和, 即：等比数列的第k项与倒数第k项的积等于首尾两项的积, 即：7、结论为等差数列,假设成等差数列,那么成等差数列为等比数列,假设成等差数列,那么成等比数列两个等差数列的和仍是等差数列等差数列,的公差分别为,那么数列仍为等差数列，公差为两个等比数列
8、的积仍是等比数列等比数列,的公比分别为,那么数列仍为等比数列，公差为取出等差数列的所有奇偶数项，组成的新数列仍为等差数列，且公差为取出等比数列的所有奇偶数项，组成的新数列仍为等比数列，且公比为假设那么无此性质；假设那么无此性质；假设无此性质；成等差数列，公差为成等差数列，公比为当项数为偶数时， 当项数为奇数时， ，当项数为偶数时，当项数为奇数时， 8、等差(等比)数列的判断方法定义法：等差中项概念；函数法：关于n的一次函数数列是首项为，公差为p的等差数列；数列的前n项和形如 (a，b为常数)，那么数列是等差数列， 定义法：等差中项概念；函数法：(均为不为0的常数，)，那么数列是等比数列数列的前n项和形如(均为不等于0的常数且q1)，那么数列是公比不为1的等比数列9、共性非零常数列既是等差数列又是等比数列
