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1、（一）一、 填空题（每小题 3 分，共 15 分）1设 f ( x), g (x), u( x), v( x)F x,若 u( x) f ( x)v( x) g(x)2, 则 (u(x), v( x).2已 知 n 阶方阵 A 的行列式1，则 (1A)110A*.A 233. 秩4. 设A B秩 A秩 B .a10L00a2L0，其中 aia j , 当 ij i , j 1,2, L , n 时，则与矩阵可交换的矩阵是.ALLLL00Lana11a12a13a21a22a231005. 设 Aa21a22a23, Ba11a12a13, P010,a31a32a33a11a31a12a32a
2、13a33101010Q 100,则 B（请用 A、P、Q表示 ).001二、计算题（共40 分）1（ 10 分）设多项式f ( x)x56x413x314x212 x8(1) 问 2 是 f ( x) 的几重根？(2) 分别求 f ( x) 在有理数域、实数域及复数域上的因式分解.a1L12（ 10 分）已知 n( 2)阶矩阵 A1aL1LLL，L11La（ 1）计算 A 的行列式；（ 2）求矩阵 A 的秩 .21233（10 分）已知矩阵 A0212,且X AX A2E,求X.002100014（ 10 分）已知A为 3 阶方阵，秩 A1 ，非齐次线性方程组Ax b 的三个解向量1, 2,
3、 3满足101122,2 31,130311求该非齐次线性方程组Axb 的通解 .三、（ 15 分）设向量组1114 ,22,1,5 ,3a,2,10 ,1,b,1 ,问 a, b 取何值时，有（ 1）可由1,2 ,3 线性表出，且表法唯一？（ 2 ）可由1,2 ,3 线性表出，但表法不唯一？此时，写出1,2,3 的一个极大无关组，并用它的一个组合表示.（ 3）不能由1,2 , 3 线性表出？四、(10分 )已知1,2 ,L , n 线性无关，1、 2 为两个向量， 若 1 ,2 ,L , n ,1 线性相关，1 , 2 ,L , n , 2线性无关，证明：1 ,2,L ,n , a 12 必
4、线性无关（ a 为任意常数） .五、（ 10 分）已知 A 满足 A2A6E0，（1）证明： A 与 A3E 皆可逆，并求其逆 ;（2）证明：秩 ( A3E) 秩(A2E)n .（3）若（ 2）成立，是否有A2A6E0 成立？六、（ 10 分）设 fi ( x)C x, i1,2,L, n ，证明：（ 1） 若 x2x 1| f( x3 ) xf( x3) ，则( x 1) | f ( x) ， (x1) | f( x) ；1212（ 2） 若 x3x2x1|f1 (x4 )xf 2 ( x4 )x2 f 3( x4 ) ，则 (x1) | fi ( x) ， i1,2,3；（ 3） 上述（ 2）是将（ 1）中两个函数的条件与结果推广到三个函数的情形，是否可将之推广到n 个函数的情形？若可以，此时的已知条件、结论是怎样的？
