《2018年北京市丰台区高三上学期期末考试数学（理）试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年北京市丰台区高三上学期期末考试数学（理）试题（解析版）（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、丰台区20172018学年度第一学期期末练习高三数学（理科）第卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】集合，所以.故选C.2. “”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】可得当时，必有成立；当成立时，不一定有成立所以“”是“”的充分而不必要条件.故选A.3. 在极坐标系中，方程表示的曲线是（ ）A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线【答案】B【解析】方程，可
2、化简为：，即.整理得，表示圆心为(0,，半径为的圆.故选B.4. 若满足则的最大值是（ ）A. -2 B. -1 C. 1 D. 2【答案】D【解析】画出不等式组的可行域如图所示：可变形为：斜率为，平移该直线，当直线经过点时，最小，最大.此时.故选D.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.5. 执行如图所示的程序框图，如果输入的的值在区间内，那么输出的属于（ ）A. B. C. D. 【答案
3、】A【解析】执行程序框图：输入的，则不满足，执行；不满足，执行.故选A.6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（ ）A. 2 B. C. D. 3【答案】D【解析】由三视图可得几何体的直观图如图所示：有：面ABC，ABC中，边上的高为2，所以.该三棱锥最长的棱的棱长为.故选D.点睛; 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出
4、几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7. 过双曲线的一个焦点作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为为坐标原点，若，则此双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】C【解析】中，,所以且=c，所以.根据题意有：，即离心率.故选C.点睛：本题主要考查双曲线的渐近线及离心率，离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出;构造的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解 8. 全集，非空集合，且中的点在平面直角坐标系内形成的
5、图形关于轴、轴和直线均对称.下列命题：若，则；若，则中至少有8个元素；若，则中元素的个数一定为偶数；若，则.其中正确命题的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.所以当，则有，进而有：，若，则，正确；若，则，能确定4个元素，不正确；根据题意可知，若能确定4个元素，当也能确定四个，当也能确定8个所以，则中元素的个数一定为偶数正确；若，由中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称可知，即，故正确，综上：正确.故选C.点睛：点睛：图象的变换：（1）平移：左加右减，上加下减；（2）对称：变为，则图象关于
6、y轴对称；变成，则图象关于x轴对称；变成，则图象关于原点对称；变成，则将x轴正方向的图象关于y轴对称；变成，则将x轴下方的图象关于x轴对称.第卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 已知单位向量的夹角为120，则_【答案】【解析】单位向量的夹角为120，所以.所以.答案为：.10. 若复数在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数_【答案】1【解析】复数,在复平面内所对应的点在虚轴上，所以，解得.答案为：1.11. 在的展开式中，项的系数是_（用数字作答）【答案】 【解析】的展开式的通项为：.令，得.答案为：-40.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(
7、1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.【答案】 (1). 2 (2). 90【解析】成等比数列,，(+32)2=(+2)(+72)，解得=2.则，13. 能够说明“方程的曲线是椭圆”为假命题的一个的值是_【答案】 【解析】方程，当或3时，曲线不是椭圆；当且时，化简为：，当或或，即或或，曲线不表示椭圆.综上：当时，“方程的曲线是椭圆”为假命题答案为：.14. 已知函数 .当时，函数有_个零点；若函数有三个零点，则的取值范围是_【答案】 (1)
8、. 1 (2). 【解析】当时，时，,得，即；时，无解，综上：当时，函数有1个零点；当时，得，时，有两个根；当时，得时有一个根，综上：时函数有三个零点.三、解答题 （本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，（）求角；（）若，求的值.【答案】（）（）【解析】试题分析：（）根据二倍角公式化简得，进而得；（）利用三角形面积公式列出关系式，将条件代入求得，进而利用余弦定理即可得的值.试题解析：（）因为，所以.因为，所以，所以，所以.（）由，得.解得.由余弦定理可得，解得.16. 某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”.2017年12月，该校“慈
9、善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会，学生可通过网路平台报名参加活动.为了解学生实际参加这4次活动的情况，该校随机抽取100名学生进行调查，数据统计如下表，其中“”表示参加，“”表示未参加.根据表中数据估计，该校4000名学生中约有120名这4次活动均未参加.（）求的值；（）从该校4000名学生中任取一人，试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率；（）已知学生每次参加公益活动可获得10个公益积分，任取该校一名学生，记该生2017年12月获得的公益积分为，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（），（）（）21.6【解析】试题分析：（）依题意，及学生人数和为100，即
10、可求解的值；（）将表格中参加了2次学校组织的公益活动的频率作为概率估计即可；（）可取0,10,20,30,40，分别计算概率得分布列，利用期望公式求解期望即可.试题解析：（）依题意，所以.因为，所以，.（）设“从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动”为事件，则.所以从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率约为.（）可取0,10,20,30,40.；.所以随机变量的分布列为：所以.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第三步是“写分
11、布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.17. 在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，分别是的中点，.（）求证：平面；（）求与平面所成角的正弦值；（）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（）详见解析（）（）在存在一点，使得平面平面，且.【解析】试题分析：（）根据中位线定理得，所以为平行四边形，进而可证平面；（）建立直角坐标系，求解平面的法向量为，设与平面所成角为，利用求解即可；（）设上存在一点，则，令，求解即可.试题解析：（）证明
12、：取中点，连接.因为分别是的中点，所以，且.因为是矩形，是中点，所以，.所以为平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.（）因为平面，所以，.因为四边形是矩形，所以.如图建立直角坐标系，所以，所以，.设平面的法向量为，因为，所以.令，所以，所以.又因为，设与平面所成角为，所以 .所以与平面所成角的正弦值为.（）因为侧棱底面，所以只要在上找到一点，使得，即可证明平面平面.设上存在一点，则，所以.因为，所以令，即，所以.所以在存在一点，使得平面平面，且.18. 已知函数.（）求函数的单调区间；（）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是.（2）【解析】试题分析
13、：（）函数求导，定义域为，由，可得或进而讨论导函数的正负得函数单调性即可；（）若恒成立，只需即可，讨论函数单调性求最值即可.试题解析：（）函数的定义域为，.由，可得或，当时，在上恒成立，所以的单调递增区间是，没有单调递减区间；当时，的变化情况如下表：所以的单调递减区间是，单调递增区间是.当时，的变化情况如下表：所以的单调递减区间是，单调递增区间是. （）由（）知，当时，符合题意.当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，所以恒成立等价于，即，所以，所以.当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，所以恒成立等价于，即.所以，所以.综上所述，实数的取值范围是.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1
14、）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .19. 在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为.（）求得方程；（）设点在曲线上，轴上一点（在点右侧）满足.平行于的直线与曲线相切于点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1） （2）直线过定点.【解析】试题分析：（）根据抛物线的定义可得得方程；（）设，则，与抛物线相切的直线为，与抛物线联立得，由得，得点，进而求出直线AD的方程即可得定点.
