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1、几类递推数列通项公式的常见类型及解法江西省乐安县第二中学李芳林 邮编344300已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类：一类是根据前几项的 特点归纳猜想出an的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系，用代数 法、迭代法、换元法，或是转化为基本数列（等差或等比）的方法求通项.第一类方法要求 学生有一定的观察能力以及足够的结构经验，才能顺利完成，对学生要求高.第二类方法有一定的规律性，只需遵循其特有规律方可顺利求解.在教学中，我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法.一、an i an d 型形如an 1 an d （d为常数）的递推数列求通项
2、公式，将此类数列变形得 an 1 an d ,再由等差数列的通项公式 an a1 n 1 d可求得an.例1：已知数列 an中a1 2 ,an 1 an 3 n N ,求an的通项公式.解： an 1 an 3 an 1 an 3 an是以a12为首项，3为公差的等差数列.an 2 n 1 3 3n 1为所求的通项公式.、an 1an酎型形如a n 1 = a n + f (n),其中f (n)为关于n的多项式或指数形式(an)或可裂项成 差的分式形式.一一可移项后叠加相消.例 2：已知数列 an ,a1=0, nCN , a n 1 = an + ( 2n 1),求通项公式 a n .解：a
3、 n 1 =a n + ( 2n 1) an1=an+ ( 2n 1) a 2 a 1 =1 、a 3 a 2 =3、 an a n 1 =2n 3,an = a1 + (a2a1)+(a3a2)+ (an an 1)=0+1+3+5+ (2n 3)= 11 + (2n3)( n- 1)=( n- 1)2nC N2、an 1 q an 型形如an1 q an （q为常数）的递推数列求通项公式，将此类数列变形得an 1anq ,再由等比数列的通项公式aa1 qn1可求得an.例3 :已知数列an中满足a1=1, an 12an ,求an的通项公式斛： an 1 2anan 1anan是以ai 1
4、为首项，2为公比的等比数列n 1. .一一 an 2为所求的通项公式.四、an 1 f(n) an型形如an 1f(n) a。可转化为a anf (n).其中f (n)=(mn b)pp (pw。，mw0,b(mn c)p-c = km, kC Z)a或=kn (k w 0)或anan 1n .=km ( ank丰0,例4:已知数列 an , a1=1, an 0,( n+ 1) an 12n2+an包二0，求an 解：.( n+ 1)an 12-n an2+an 1an =0(n+ 1) an 1 一。(an 1 +an)= 0, an0 an 1 nan n 1an 1 +an0n+ 1)
5、an 1 -nan=0anan.an 一 一an 1 an 2an 2an 3a2-a1a1五、a n 1 = f (a n )型形如an1= fa),其中f (an)是关于an的函数.-需逐层迭代、细心寻找其中规律.例5:已知数列 an ,a1 =1, n N , an 1 = 2 a n + 3 n ,求通项公式an解:01= 2 an +3nan =2 an 1 +3 n-1 =2 (2 a02 +3 n-2) + 3 n-1 = 2 2(2 an 3+3 n-3)+2 - 3n-2+3 n-1 =2 n-2(2 a1 + 3)+2 n-3 - 3 2 + 2 n-4 - 3 3+2 n
6、-5 - 3 4+ 22 - 3 n-3+2 - 3 n-2+3 n-1=2 n-1 2 n-2n 1以1-3+2 n-3 - 3 2+2 n-4 - 3 3+3 n-2+ 3 n-1六、n33n2n2形如=pa=Pan + q , pqw0 , p、q时，为等差数列;时，可在两边同时加上同一个数an 1 + x = p(a n +J)p为常数.x,an 1 + x = pa n从而转化为等比数列an +qx =时,p 1有 a n 1 + x = p(a n + x ),-q 求解.p 1例6：已知数列an中，a1=1, an.1斛： an = an 1 +12an 2 =12a11(a2n
7、 1+ 1, n= 1、2、3、，求通项ann 1 2)又a1 2 = -1 w0 .数列 an 2首项为-1 ,公比为1 ，一，一1的等比数歹U.21、n 11 nan - 2 = -1(-)即 an = 2 -2 n N七、an 1=pan+ f (n)型形如am=pan+ f(n), pw0且p为常数，f(n)为关于当p=1时，则an1=an+ f (n)即类型二.当p w 1时，f (n)为关于n的多项式或指数形式(an).若f (n)为关于n的多项式(f (n) = kn + b或kn2 + bn + cn的函数.k、b、c为常数)，一一可用待定系数法转化为等比数列.例 7：已知数列
8、 an满足 a1=1, an 1 = 2an +n2 ,解：令 a n 1 + xa(n+1)2 + b(n+1) + c = 2( an + an2 +nC Nbn + c)即ana n + (2 a ax)n+ (2 b -2 ax - bx)n +2c一ax2aax2b2axbx 02caxbx cx 0an求an bx - cx比较系数得:1 + (n+1)2+2(n+1) + 3 = 2( an +令 bn = an + n数列n一 bn = 7X2nan = 7X 212 x2ax2 x ax bx2 xn2+2n + 3)a1+1+2X1+3 = 72+2n + 3 则 bn 1
9、 = 2bn b1二 7 ，数歹U bn为首项为 712n 1即 a n + n +2n + 3 = 7X21 - ( n2 +2n + 3 ) nCN若f (n)为关于n的指数形式(an).当p不等于底数a时，可转化为等比数列;当p等于底数a时，可转化为等差数列.例8:若 a1=1,解：.令-xWn = 3an = 2 an 1+ 3n公比为2的等比+ 3n 1, (n = 2、3、4)，求数列an 的通项an令 a n + xX3n = 2(an 1+x3n 1x = -1nna n 3 = 2(a n 1 3n 1)倚 a n = 2 a n 1 - x)又a1 3 = - 2，数歹U
10、an3n是首项为-2,公比为2的等比数列.an 3n =-2 2 n 1 即 a n = 3 n -2 n n C N例 9:数列 an中,a1=5 且 an =3an 1+ 3 n -1 ( n = 2、3、4)试求通项 a解： a n =3a n 1+ 3 n-1an3(an 1 2)3an2嗖anan12是公差为1的等差数列.an 2 =3na111)=2+( n3an = (n g) 3n2 nCN八、an 2= P an 1+ q an 型解法一（待定系数法）：先把原递推公式转化为an 2 san 1 t（an 1 san）其中s, t满足s t p st qa1,a2 给出的解法二
11、（特征根法）：对于由递推公式 an 2 pan 1 qan,数列an，方程x2px q 0,叫做数列an的特征方程。若Xi,X2是特征方程的两个根，当 Xi X2时，数列 an的通项为anAX； 1 BX； 1 ,其中 A , B由n 1n 1a1,a2 决定(即把 a1,a2,X1,X2和 n 1,2,代入 an AXiBX2 ，得到关于A、B的方程组)；当Xi X2时，数列an的通项为an (A Bn)X1n 1,其中A,n 1B 由 a1, a2决 th (即把 a1, a2, Xi , X2 和 n 1,2,代入 an (A Bn)x1，得到关于A、B的方程组)。例 10:已知数列an
12、中 a1= 1, a2 = 2 且 an2 an 1 2an ,n N ;求an的通项.解：令 an 2 +X an 1 = (1 + X) an 1 + 2 an a n 2+X an 1 = (1+x)( an 1+ y2-a n )1 X令 X = 2-x2 + x - 2 = 0 x = 1 或-21 x当 x = 1 时,an 2 + a n 1 =2(a n 1 + an) 从而 a 2 + a 1 = 1 + 2 = 3.数列 an i+ an是首项为3且公比为2的等比数列.n 1右an 1 + a n = 3 2 当 x = - 2 时，an 2- 2an 1= - (an 1
13、-2an),而 a 2 - 2a 1 = 0an 1- 2an = 0 由、得：a n = 2九、anan 1= pan qani 型形如 anan 1 = panqan0）.且an 0的数列，一一可通过倒数变形为基本数列问题.当p = q时，则有:转化为等差数列;当p w q时，则有:an 1an例11：若数列 an中,解:an 12anan 21an 1-q 工.同类型六转化为等比数列.pan p2anan2又 a110, an 0 ,111.111.1 d1an 12 anan 1an2a1，数列 an是首项为1,公差为：的等差数列.工=1+ 1 n 1 an2类型十、an 1pan q ran h解法：如果数列an满足下列条件：已知a1的值且对于n N ,都有an 1阿q (其 ran h中p、q、r、h均为常数，且 ph qr,r0, a1一）,那么，可作特征方程 x -
