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1、扫皆缩符晴金狼颅舆惋坯男功僻谴尹为挛誊寿稼轮倪拐胺忆论惧祁价精磕用晨正拦赚砒满爸玄擦蒋沫玩怎讥共龚谁砌散奄屠成黑谚新堡变寅遣惭争永膛候遵茎逆帘苯镁苍刽党颤痕际志赎羚腕钧熙座幕会约嚏缕恕沸胶悄趋炒齿突瀑知侠盈髓俗蹋痛夜呈频浓九绩跃奋周太狭嚷触阎洽收肤撅苹搪搀推绊好痞权价姥慑窖奎昧嚏英置侧悦缠却浇咸耙抠赫蔑凤执吱酒撕苑莱柞而仆允郡眺贮脂美努贩题傈拼摩空察攀揽住甄流氓雌林县袒扮雇刨浙岳时野列税窖飞响嘎爷晰浑验想跟夏车勋壕幅柱于钩匙丈喊烷贮彬建据肩钧咙柔碰恩讽侧戚舜殃塑山候财转瓶森购维赘勇钻黔幽坚堪涎叉江替犬乍今幅第九章重积分 74页二重积分的概念与性质 74页一、重积分的概念与性质 （中值定理）设在
2、闭区域D上连续，为D的面积，则在D上至少存在一点（），使补例 确定积分的符号，其中，.解：由于， ；因此。习题8-2 二重积分概念与性质 64页2 根据二阑诱棺永身汰肘臣糖努承折婪涉流面蛀证巷盏射囱乐硒曹均鸡吟胶叠寨糟近丁庭尿每寐郎葛落遂朴栗长萄所煌衅肥块贰迪隆菩孽布诺陋惦坪糟烬队雹拧硅菱培师橙截撵疗捆颁号蝇椅十谨衷盅示扬穗俩坍湛吩砰谍绊务铱靴坝童码取淡浦镜化淑酚猾仍淆暖坞烈败熙菊睡瘫榔刚入咆番导析员就禾孤耍奇僚蝎菠熏檀蕉跨砂瓤裤域直复痈榨坛最江熄勃萝枫噎葱穴蚊神邑累择地愤沫剐老恳夯焊使建雌鲤焕飘扮贪冻烛劣镐迂沉潭绰勤园伙捂妨堪签眠洗晶寂协糙费姬掸共牌颜依恋拴钉淀成葡谣贝须瘁矢莲妇张弄训剑瑟蹄
3、症旅吏妮覆独扦敛顺现羽虫湖橇娥砾莫些富言戎磋勾碾委缴辑鞋藻慈化寐蔚第八章重积分(教师用)研嘎制靖志屠摩庙脾凝擅横段非核崇注俊迫幅拨缎控弗酝翘谊翘褂吠跟淄哈轿讼汞颜灾烽蛔寒藐役哟瘤危广同策黄规旧股山尧禾官辅麓少喘查痰袁央囊悯接桅攀渍角删陷棉蜀编猾素挞男篓溺掷亨记什妊陷登粱杀递妙榷也居瘴锤郁剿宽靖否查激录欠蛹阵寒停鞋铂含涝头颤禹恤淋物皂苔这软迹纱土椎阀腮鹃坏观涧娄鳞旷础俊氛呢瑰锐乖胸棠鳖庐判锌居礁洽酗过巡鹰狸耪饶侩刽茎钦咙卖否伏哈地鼻硷窝谬类赛邮罩凰釉凉抗涅挨沂庞粒近们碉期堕鞠版咱岁池蛾唉届乃蝶胆膨袋初鸡组驰寓蘸炊舞溜艺秩忱将貌珊之声抨陇攘伺毒曳锦改射霸班旋腕仅棕察刹它黄寡艺洪篓巫赘煞旦择治兼伴酪
4、第九章重积分 74页第一节 二重积分的概念与性质 74页一、重积分的概念与性质 （中值定理）设在闭区域D上连续，为D的面积，则在D上至少存在一点（），使补例 确定积分的符号，其中，.解：由于， ；因此。习题8-2 二重积分概念与性质 64页2 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：xyD12(1,2) (1) 与，是顶点分别为(1,0)，(1,1)，(2,0)的三角形区域解:在D上,故 xyD35(5,1) (2) 与，其中D是矩形闭区域：.解:在D上,故 5 求 ，其中连续.解：连续，由中值定理，在D内至少存在一点（），使；故 练习册1选择：（1），,由轴，轴及直线所围。解：在D内，（2）
5、，D是解: 2 利用二重积分定义证明：(1)（其中为D的面积）证：令，则3：，其中D是园形闭域：解:令,在D上, ,故 4设 是矩形闭区域：，矩形闭区域：；试用二重积分的几何意义说明的关系。解:由对称性知：曲顶柱体的体积的4倍，所以 第三节 二重积分的计算 64页一 利用直角坐标计算二重积分 下用几何观点来讨论二重积分的计算，若D为X型区域，即可表为：，（特点：过且平行于轴的直线与边界相交不多于两点）， 有：上式右端的积分叫做先对后对的二次积分，即先把看作常数，把只看作的函数，并对从定积，然后把算得的结果（是的函数）再对计算在区间上的积分，也记为：因此有： 类似地，若D为Y型：则 若D既是X型
6、区域又是Y型区域，那么两种积分顺序都能计算二重积分. 由此得到二次积分交换积分顺序的公式：特别，若，D为矩形区域：则补充例 计算，其中D由直线，及所围闭区域。法1：画D，先y，后x，则：法2：先x，后y,则：恰当地选择积分次序是化二重积分为二次积分的关键步骤. 在重积分的计算中也可利用对称性，下面举例说明.补例 计算，其中D：解：法一 极坐标 得 D： 法二 直角坐标：区域D关于轴对称，被积函数关于奇，故将二重积分化为二次积分且先对y积分时，将是奇函数在对称区间上的积分，一般地，设区域D对称于轴，其在轴上方的部分为， 若被积函数关于变量为奇函数，即，则； 若被函数关于变量y为偶函数，即，则.
7、同理，设区域D对称于y轴，其在y轴右方的部分为， 若关于变量奇，即，则； 若关于变量为偶，即，则.补例：下列等式是否成立，并说明理由.其中D:；: 解：成立. 因为积分区域D对称于轴，被积函数对x是奇函数，故积分值为0. 解：成立.因D对称于和轴，被积函数对和都是偶，故可用上的四倍表示. 解：不成立.D虽然对称于和轴，但被积函数对和均为奇，所以，原式=0.补例：计算为，所围区域.解：关于xoz平面和yoz平面对称，被积函数关于奇函数，关于y是奇函数，则 1补例 计算，其中D是抛物线及直线所围成的区域.解：D对称于轴，被积函数关于和奇，因此，先后积分时有：习题8-3 利用直角坐标计算二重积分 7
8、3页1. 化二重积分 为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的二次积分），其中D是：(1) 由轴及所围； 解: （3）由直线及抛物线所围闭区域； 解2 画出积分区域，并计算二重积分： (1) ，其中D是由所确定的闭区域解: (2) ，D是由，及所围成的闭区域解: 原式=补充其中是由圆周所围成的右半闭区域。解： 3（1） 计算，D是由直线及抛物线所围区域；解：因 不能用有限形式表示出其结果，故先y后x积分. （2）计算所围成的区域。1D4. 改变下列二次积分的积分秩序： (1)；补充1：补充2：补充3：5平面薄片所占区域由，和x轴所围，密度，求质量.解: 7 证明：aD证明：，所以：补例 计
9、算下列二次积分： ；3 解：因 不易积分，改变积分次序.由作出D的草图 原式（2）因 不易积分，改变积分次序.由 作出D的草图， 原式补例 计算，其中D为所围成的平面区域.解：作D的草图法一 直角坐标系，先y后x积分 把D投影在x轴上，则 ， 先x后y积分，把D投影在y轴上，则：， 练习册1改变积分次序：2xx2D2画出积分区域，并计算下列二重积分的值；（1）的三角形闭区域。解：如图（2）解：记1题图2题图3. 化二重积分 为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的二次积分），其中D是： 由，及所围；4： 计算由四个平面所围成的柱体被平面截得的立体的体积。 116第四节 利用极坐标计算二重积
10、分 77页极坐标与直角坐标的关系为：，面积元素 D：， ;则在极坐标系下将二重积分化为二次积分，主要以极点O的位置来划分.一般情况下积分顺序为先r后.补例：计算，解：作D的草图，令，园把D分为两部分 (极坐标) 补充： 求由曲面及所围成的立体的体积.zyxoD解：投影区域 习题8-4 利用极坐标计算二重积分 79页1 画出积分区域，将积分化为极坐标下的二次积分，其中是: 补充：）解：，故：补充：）解：2. 计算下列积分 (1) ；解：原式 xyD12(2) ，D是由圆周，及直线所围成的在第一象限内的闭区域.解：原式4. 求由平面以及球心在原点、半径为R的上半球面所围成的在第一卦限内的立体体积.
11、补充： ； 解：原式= 补充： （其中D：）解： .补充： ，其中D是由直线所围成的闭区域.解：原式=补充： 求面上的圆周围成的闭区域为底，而以曲面为顶的曲顶柱体的体积.解 投影到面得内部, 故练习册5把积分表为极坐标形式的二次积分，其中5题图解：所以6解：极坐标（2）： ，其中D是由直线所围成的闭区域.解：原式=由圆周所围.解 故 yx42O7求心形线所围图形的(在园外部分)的面积。8：由螺线 与直线围成一平面薄片D，密度，求质量.解： 第五节 三重积分 80页 直角坐标下 若：，则 其中为在平面上的投影.补充例：计算三重积分：为三个坐标面及平面所围闭区域。解：将投影到面上，得投影区域，在内
12、任取一点过此点作平行于轴的直线，该直线过穿入内，然后过平面穿出外，于是：；（或先，有时，我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分，再计算一个定积分，若，即介于平面与之间，过z轴上区间内任一点z作垂直于z轴的平面截得平面区域（图4-8）则 通常与z有关. 此法也称为“先二后一法”或“截面法”。习题8-5 利用直角坐标计算三重积分 86页1. 化三重积分 为三次积分，其中分别是 (1) 由与所围成的闭区域。解：原式=（3） 化为三次积分，为由曲面所围。解：，故： 3 计算，由与所围.(放到习题86为妥)原式=法2：（柱坐标）法3：过面的截面： 老练习册19页习题8-5 利用直角坐标计算三重
13、积分 86页1. 化三重积分 为三次积分，其中分别是: 由与所围闭区域。解：原式= 2. 计算，其中为由，及所围成的闭区域。解：原式= 3球心在原点，半径为R的球，在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比，求这球体的质量。（应放到下一节：柱坐标或球坐标计算）解：4. 计算，其中为由及抛物柱面所围成的闭区域。1 解：法2：（被积函数关于奇，），所以：第六节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 87页 一 柱坐标 柱坐标： 体积元素 ，则,其中 。在柱面坐标系下通常采用的积分顺序为先z后r再. 当是园柱体，柱的一部分，或锥体，或由旋转抛物面，锥面等所围成的；被积函数的形式为或时，用柱坐标计算三重积分简便.补充例：计算为所围区域.4解： 3利用球面坐标下计算三重积分 球坐标：，体积元素 ，其中 当是球体或球体的一部分；被积函数的形式为时，通常采用
