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1、关于镜像法的总结一、理论依据唯一性定理：它指出了静态场边值问题具有唯一解的条件，在边界面S上的任一点只需给定 或的值，而不能同时给定两者的值。n 镜像法的求解思想是：所有研究的区域边界是有规则的导体或介质界面、区域内只有一个或 几个点电荷或线电荷时，设法不改变所求区域的电荷分布、在区域的边界外一定位置放置一 个或几个镜像电荷来代替导体边界上感应电荷或介质边界上的极化电荷对外的作用。这样， 便把求解泊松方程及边界条件的解的问题，转化为求解几个点电荷及镜像电荷在空间产生场 的问题。二、镜像电荷法求导体球壳电场镜像电荷法是指在待求电场区域之外,用假想电荷来等效原边界面上的感应电荷或极 化电荷的作用,
2、只要保证求解空间内的全部边值条件得到满足,所得到的解就是唯一正确的 解.运用镜像电荷法求解静电场边值问题的关键根据唯一性定理找出电势满足的全部定解 条件,并由这些边值条件来决定像电荷的量值和位置.对于平面导体附近有点电荷、球面导 体附近有点电荷,求出空间各点的电势及电场强度问题,可以采用镜像电荷法来处理,能够 省去一些复杂的数学运算,使问题巧妙地得到解决.比如,接地空心导体球的内外半径分别 为R1和R2，在球内离球心为&（ a 0 ；场区的源是电量为q位于P(0,0, h) 点的点电荷，边界为xy面，由于导电面延伸到无限远，其边界条件为xy面上电位为零。导电平板上场区的电位是由点电荷以及导电平
3、面上的感应电荷产生的，但感应电荷是未 知的，因此，无法直接利用感应电荷进行计算。现在考虑另一种情况，空间中有两个点电荷 q和-q，分别位于P(0, 0h )和点 P(0, 0-h )使得xy面的电位为零，如图3.2.2。这种情况，对于z 0的空间区域，电 荷分布与边界条件都与前一种情况相同，根据唯一性定理，这两种情况z 0区域的电位是 相同的。也就是说，可以通过后一种情况中的两个点电荷来计算前种问题的待求场。对比这 两种情况，对z 0区域的场来说，后一种情况位于P(0,0, -h)点的点电荷与前一种情况导电面上的感应电荷是等效的。由于这个等效的点电荷与待求场区的点电荷相对于边界面是镜 像对称的
4、，所以这个等效的点电荷称为镜像电荷，这种通过场区之内的电荷与其在待求场区 域之外的镜像电荷来进行计算电场的方法称为镜像法。需要特别强调，镜像法只是对特定的 区域才有效，镜像电荷一定是位于有效的场区之外。 现在回到本例中来，所求场区的电位应满足以下方程V2p = 0(除 q点外)(3.2)边界条件为：R T a, T 0(3.3)3.4)在(0,0, -h)处放一镜像电荷q = -q来代替导体表面上感应电荷的作用，并将z 0区域内所产生的场是否仍满足方程(3.2) 和边界条件(3.3)、(3.4)。q与q在z 0的区域内产生的电位为_ 1( q + q)_ 1(q+q)(35)4兀舄 R R4兀
5、舄 Jx2 + y2 + (z - h)2 Jx2 + y2 + (z - h)2R fg时，式(3.5) g，因此新系统对边界条件(3.3)自然满足。同时，式(3.5) 也满足式(3.4)的边界条件。q1P _(4ks R01x 2 + y 2 + (z - h)2在 z 0的区域内的电位为)(3.6)x 2 + y 2 + (z + h)2式(3.6)既满足方程(3.2)，又满足边界条件式(3.3)、(3.4)，由解的唯一性定理可知， 它就是原问题所求的电位解。为了更好地理解镜像法的物理含意，我们对此例再稍加讨论。由式(3.6)可求出上半空间的 电场为E _-xdx如 qxV4K803x
6、2 + y 2 + (z - h)2213x2 + y2 +(z+h)22Qyqy1VK830 x2 + y2 + (z - h)221x2 + y2 +(z+h)22如qE _ _vzQz 4k80z-h3x 2 + y 2 + (z - h)22z + h3x2 + y2 +(z+h)22在z _ 0的平面上，E _ E _ 0，只有E即法向电场分量E存在，亦即x yznE _ E (x, y,0) _nz-qh32耐(x2 + y2 + h2)2 0根据导体表面的边界条件，导体表面上的感应电荷面密度为b _8 E _-qhs0 n32 兀(x 2 + y 2 + h 2)23.7)上式表
7、明，b在导体表面上并不是均匀分布的，但它的总感应电荷为q _b dxdy _-qhdxdy _- qS -g -g S2兀-g -g (x2 + y2 + h2)t3.8)感应电荷总量与镜像电荷总量相等。这一结论是合理的，因为点电荷q所发出的电力线全部 终止在无限大的接地导体平面上。另据一个例子，两个半无限大的接地导电平面折成一直角区域，直角区有一点电荷q，如图 3.2.4 (a)所示。求直角区域中的电位分布。建立直角坐标系，使直角导电面与坐标平面相合，并使点电荷位于 xy 平面，设其坐标为(a,b,0)。现在，待求场区为x 0, y 0的区域，边界面为x二0面与y二0，在边界面上电位为零。容
8、易看出，对于如图3.2.4(b)所示的空间有相对坐标面对称分布的四个点电荷的情况，在坐标的第一象限与原问题有 相同的电荷分布和边界条件。因此，可通过 这四个点电荷求解待求场区的场，即q1111申(x, y,z) =( - + 一 一)4K8rrrr01234式中，r = *：(x-a)2 + (y -b)2 + z2r2 r3 r4=、：(x+a)2+(y-b)2+z 2=；( x+a)2+(y+b)2+z 2=*( x-a)2+(y+b)2+z 2兀镜像法不仅可用于以上介绍的导电平面和直角形导电面的情况，所有相交成= (n为正 n整数)的两个接地导体平面间的场(n = 2,3, 4,)，都可用镜像法求解，其镜像电荷的个数 为 2n -1 。四、镜像法对点电荷在双层介质引起的电场镜像法对点电荷在双层介质引起的电场的应用。如图1一30所示，平面分界面S的左、右半空间分别充满介电常数为S与*的均匀介质，在左半空12间距S为d处有一点电荷q,求空间的电场。设左半空间 电位为P，右半空间电位为9。12这里使用这样的镜像系统：即认为左半空间的场由原来电 荷q和在像点的像电荷q所产生(这时介电常数的介质 布满整个空间);又认为右半空间的场由位于原来点电荷q处的像电荷q单独产生(这时介电常数为2的介质布满整个空间)。故两介质中的电位表达式为180)181)182)183)
