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1、概率论与数理统计作业答案 完整校对版】1 ?略.见教材习题参考答案 .2 .设 a ， b ， c 为三个事件，试用 a ， b ， c 的运算关系式表示下列事件：?（ 1 ）a 发生， b ，c 都不发生； （ 2） a 与 b 发生， c 不发生；?（ 3）a ， b， c 都发生；（4） 4） a ， b ， c 至少有一个发生； ? （ 5） a ， b ， c 都不发生； （ 6 ） a ， b ， c 不都发生； ?（7） a， b， c 至多有 2 个发生； （8） a， b， c 至少有 2个发生 .? 【解】（ 1 ） abc （ 2 ） abc （ 3 ） abc（8） a
2、 U b U c=abc U abc U abc U abc U abc U abc U abc=abc （5） abc=a?b?c（6） abc（7） abc U abc U abc U abc U abc U abc U abc=abc=a U b U c （8） ab U bc U ca=abc U abc U abc U abc 3.?略.见教材习题参考答案 ？4 .设 a， b 为随机事件，且p （a） =0.7,p（a?b）=0.3 ，求 p （ab ） .?【解】 p （） =1?p （ ab） =1?p（a）?p（a?b）=1?0.7?0.3=0.65 . 设 a ， b 是两
3、事件，且p （ a） =0.6,p（b）=0.7, 求： ? （ 1 ） 在什么条件下 p （ab ）取到最大值？ ? （2） 在什么条件下 p （ab ）取到最小值？ ? 【解】（ 1 ） 当 ab=a 时， p （ab ）取到最大值为 0.6.6 .设 a， b， c 为三事件，且p （a） =p （b） =1/4 ， p （c） =1/3 且 p（ab） =p （bc） =0，?p （ac） =1/12 ，求 a， b， c 至少有一事件发生的概率.?【解】p （a U b U c） =p（a）+p（b）+p（c）?p（ab）?p（bc）?p（ac）+p（abc）11113+?= 443
4、1247 .?从 52 张扑克牌中任意取出 13 张，问有 5张黑桃， 3 张红心， 3张方块， 2 张梅花的概率是多少？5332【解】 p=c13c13c13c13/c1352.?对一个五人学习小组考虑生日问题： （1 ） 求五个人的生日都在星期日的概率； （ 2 ） 求五个人的生日都不在星期日的概率；（ 3 ）求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（ 1 ） 设 a1= 五个人的生日都在星期日 ，基本事件总数为75 ，有利事件仅1 个，故 p （ a1 ）115= （）（亦可用独立性求解，下同） 757（ 2 ） 设 a2= 五个人生日都不在星期日 ，有利事件数为 65 ，故 6565
5、p （a2） =5=（）77（3） 设 a3= 五个人的生日不都在星期日 p （a3） =1?p（a1）=1?（15） 79 .? 略.见教材习题参考答案 .10 .一批产品共n 件，其中 m 件正品 .从中随机地取出 n 件（ nn ） .试求其中恰有 m件（mcm ）正品（记为a）的概率.如果：？（1） n 件是同时取出的；（ 2） n 件是无放回逐件取出的； ？ （ 3） n 件是有放回逐件取出的 .？ n？mn【解】（ 1 ） p （ a ） =cmmcn？m/cn n（2） 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有pn 种，n 次抽取中有m次为正品的组合数为 cmn 种.对
6、于固定的一种正品与次品的抽取次序，从 m 件正mn？m品中取 m 件的排列数有pm 种，从 n？m 件次品中取n？m 件的排列数为 pn？m 种，故mn？m cmppp （a） =nmnn？m pn由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成 n？mcmmcn?m p (a) = cnn可以看出，用第二种方法简便得多 .( 3 ) 由于是有放回的抽取，每次都有n 种取法，故所有可能的取法总数为 nn 种， n次抽取中有m 次为正品的组合数为 cm 对于固定的一种正、次品的抽取次序， n 种， m 次取得正品，都有m 种取法，共有mm 种取法，n?m 次取得次品，每次都有n?m 种取
7、法，共有( n?m ) n?m 种取法，故mn?mp(a)?cm/nn nm(n?m)此题也可用贝努里概型，共做了 n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为 m 件正品的概率为 m，则取得 n ?m?m?p(a)?cmn?1?nn?mn?m11 .? 略.见教材习题参考答案 .12 .? 50 只铆钉随机地取来用在10 个部件上，其中有3 个铆钉强度太弱 .每个部件用3 只铆钉.若将 3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱 .求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设 a= 发生一个部件强度太弱 33p(a)?c110c3/c50?1196013 .? 一个袋内装有大小相同的
8、 7 个球，其中 4个是白球， 3 个是黑球，从中一次抽取3 个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设 ai= 恰有 i 个白球 ( i=2,3 )，显然 a2 与 a3 互斥 .1c2184c3p(a2)?3?,c735c344p(a3)?3?c73522 35故 p(a2?a3)?p(a2)?p(a3)?14 .? 有甲、乙两批种子，发芽率分别为 0.8 和 0.7 ，在两批种子中各随机取一粒，求：( 1 ) 两粒都发芽的概率；( 2 ) 至少有一粒发芽的概率；( 3)恰有一粒发芽的概率.【解】设 ai= 第 i 批种子中的一粒发芽，( i=1,2 )(1) p(a1a2)?p(a1)
9、p(a2)?0.7?0.8?0.56 (2)p(a1?a2)?0.7?0.8?0.7?0.8?0.94 (3)p(a1a2?a1a2)?0.8?0.3?0.2?0.7?0.3815 .?掷一枚均匀硬币直到出现3 次正面才停止.( 1 ) 问正好在第6 次停止的概率；( 2 ) 问正好在第6 次停止的情况下，第5 次也是出现正面的概率11131c4()()5212131?2 ? 【解】( 1) p1?c5()()(2) p2?222325/32516 .? 甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为 0.7 及 0.6 ，每人各投了 3 次，求二人进球数相等的概率.【解】 设 ai=甲进 i 球,
10、i=0,1,2,3,bi=乙进 i 球,i=0,1,2,3,则 212p(?aibi3)?(0.3)3(0.4)3?c130.7?(0.3)c30.6?(0.4)? i?0322c3(0.7)2?0.3c3(0.6)20.4+(0.7)3(0.6)3=0.3207617 ?从 5 双不同的鞋子中任取4 只，求这 4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.41111c5c2cc2c2213 【解】 p?1? ?4c102118 .? 某地某天下雪的概率为 0.3 ，下雨的概率为 0.5，既下雪又下雨的概率为 0.1,求：( 1 ) 在下雨条件下下雪的概率；( 2 ) 这天下雨或下雪的概率.【解】
11、 设2=下雨, b=下雪.( 1 ) p(ba)?p(ab)0.1?0.2 p(a)0.5(2) p(a?b)?p(a)?p(b)?p(ab)?0.3?0.5?0.1?0.719.? 已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率(小孩为男为女是等可能的) .【解】 设 a= 其中一个为女孩 ， b= 至少有一个男孩，样本点总数为 23=8 ，故p(ba)?p(ab)6/86 ?p(a)7/876 7或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为 7.p(ba)?20 .? 已知 5% 的男人和 0.25% 的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率(假设男人和
12、女人各占人数的一半) .m 设2=此人是男人, b=此人是色盲,则由贝叶斯公式 p(a)p(ba)p(ab)p(ab)?p(b)p(a)p(ba)?p(a)p(ba) ?0.5?0.0520?0.5?0.05?0.5?0.00252121 .?两人约定上午9 : 0010 : 00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题 21 图题 22 图【解】设两人到达时刻为x,y,则0&x,y 0蕨件 人要等另一人半小时以上 ”等价于 |x?y|30.如图阴影部分所示.3021p?2?60422 .? 从( 0 ， 1 )中随机地取两个数，求：6的概率； 51( 2 ) 两个数之积小于的概率.4
13、(1) 两个数之和小于【解】设两数为 x,y ，则 0x,y1. (1) x+y6. 5 144 17 p1?1?0.68 125 1(2) xy=.4 p2?1? ?1?11dxdy11?ln2 4x?4?42123.?设 p (a) =0.3,p(b)=0.4,p(ab)=0.5 ，求 p (b | aUb)【解】 p(ba?b)?p(ab)pa(?)pab() ?p(a?b)p(a)?p(b)?p(ab)【篇二：概率论与数理统计习题(含解答,答案 ) 】txt 一填空 .1.p(a)?0.4,p(b)?0.3 。若 a 与 b 独立，则 p(a?b)?；若已知 a,b 中 至少有一个事件
14、发生的概率为 0.6 ，则 p(a?b)? 。 2 p(ab)?p() 且 p(a)?0.2 ，则 p(b)? 。3 设 xn(?,?2) ，且 px?2?px?2, p2?x?4?0.3 ，则 ? ； px?0?。4 e(x)?d(x)?1 。若 x 服从泊松分布，则 px?0? ；若 x 服从均匀 分布，则 px?0? 。5 设 xb(n,p),e(x)?2.4,d(x)?1.44 ，则 px?n?6 e(x)?e(y)?0,d(x)?d(y)?2,e(xy)?1, 则 d(x?2y?1)? 。7 xn(0,9),yn(1,16) ，且 x 与 y 独立，则 p?2?x?y?1? (用表示
15、)， ?xy? 。8 已知 x 的期望为5 ，而均方差为2 ，估计 p2?x?8? 。? 均是未知参数? 的无偏估计量，且e(?2)?e(?2) ，则其中的统计量 9设 ?1 和?212有效。10 在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈愈好，而置信区间的长度愈愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是。二假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为 0.1 ；乙河流泛滥的概率为 0.2 ；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为 0.3 ，试求： ( 1 )该时期内这个地区遭受水灾的概率；( 2)当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。三高射炮向敌机发射三发炮弹(每弹击中
