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1、第八章 常微分方程与差分方程2008考试内容常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利（Bernoulli）方程 全微分方程 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉（Euler）方程 微分方程的简单应用2008考试要求1. 了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。2. 掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。3. 会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代
2、换解某些微分方程。4. 会用降阶法解下列形式的微分方程：。5. 理解线性微分方程解的性质及解的结构。6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。7. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。8. 会解欧拉方程。9. 会用微分方程解决一些简单的应用问题。2008差分方程考试内容（数学3专题） 差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶常系数线性差分方程 差分方程的简单应用2008差分方程考试要求（数学3专题）1了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。2掌握变一阶常系数线性差分方程的求解方法。
3、3会用差分方程求解简单经济应用问题。 第一节 常微分方程一 微分方程的解的结构与性质1.1 微分方程的形式： 一般形式： 标准形式： 评 注 注意上述形式中的及其各阶导数只是一次项，这是因为我们研究的是线性（特征是：只含及其各阶导数得的一次项，否则，就是非线性方程范畴了，当然对一阶微分方程可能有例外：如伯努利方程等。）微分方程类型，微分方程的阶次是指导数的最高阶次，另外，考点中，一般指常系数（只有一阶微分方程可以为非常系数）线性微分方程。1.2 微分方程的特解与通解及其解的结构 不含待定常数的解称为特解，如，含有待定常数的解称为通解，如。阶齐次微分方程有无穷个特解，但只有个线形无关的特解，只要
4、任意取个线形无关的特解的线形叠加就是原微分方程的通解。阶非齐次微分方程有无穷个特解，但只有个线形无关的特解，其中，对应的齐次方程有个线形无关的特解，线形叠加是该齐次方程的通解，另一个特解是属于阶非齐次微分方程，所以原非齐次微分方程的通解为。另外解有显式解和隐式解两种表述方式。研考范围内，一般对一阶微分方程的标准形式没有常系数限制，对二元和二元以上的高阶微分方程来说，标准形式或经过变换后的方程（如欧拉方程等）必须是常系数，一般只需要掌握2-3阶就可以了，而且，无论几阶常系数微分方程，它们对应的齐次方程的解法只有一个，即特征值法，它们的非齐次方程的特解一般都使用微分算子法求得。评 注 一旦给定常系
5、数齐次方程，就可以求出特征值；反过来，一旦知道了特征值，就可以确定该齐次方程的具体形式，如为实数，则齐次方程的特解形式必为指数项，如为纯虚数，则齐次方程的特解形式必为振荡项，如为复数，则齐次方程的特解形式必为，如果为重根，则特解必含幂因子。这一规律是求解该类题型的理论根据，切记。另外，无论什么样的线性常系数方程，特解形式不外乎“幂，指，弦，弦” 特征。二常数变易法常数变易法的思想是将通解中的待定常数换成变量后，再代入原方程求解。可以无条件求解一阶非齐次方程，也可以在一定条件下求高阶非齐次方程。2.1 一阶非齐次方程 的常数变易法 求对应齐次方程的通解 令代入原方程解得原方程的解：【例1】求微分
6、方程的特解。解：原方程变形为 2.2 二阶非齐次方程 的常数变易法 已知或必须能容易求出的两个特解，否则不能利用常数变易法 令代入原方程解得原方程的解：【例2】求的通解。 解：容易观察原方程对应的齐次方程有两个特解 令原方程的解为 代入原方程，可得通解 已知或必须能观察求出的一个特解， 令代入原方程，可求出通解。【例3】求的通解解：容易观察原方程对应的齐次方程有一个特解 令 代入原方程，得评 注 也可以这么做： 如容易观察出一个特解 则令 另一特解为 代入原方程三各类研考中所考微分方程的5大题型 1及其伯努利方程；有定势求解方法； 2；属于缺型，有定势求解方法； 3；属于缺型，有定势求解方法；
7、 4，涉及的题型比较灵活；后面有系统研究。 5；有定势求解方法。四微分算子法求非齐次方程的特解 形如 令 ，则 的求法规则 例如： 再根据 或 求得 展开项的个数由多项式的最高次幂决定，参见【例4】。 可化成，计算结果取虚数即可，参见【例9】。陈氏第19技 算子解 真方便； 遇指遇弦直代换； 几重零母几次幂。 遇多项 级数帮； 最高次 去截断； 积分总在最后边。 遇混合 指出鞘； 平移算符作后面； 双弦能化指实虚。评 注 与算子解法有关的考点有三：第一，求常系数非齐次方程的特解；第二，求常系数微分方程组的通解；第三，求欧拉方程的特解。【例4】求解 为实数解： 【例5】解： 【例6】解： 【例7
8、】 解： 评 注 此题解法顺数第一步，即，如写成，则计算相当繁琐，建议不要采用。此题解法倒数第二步，必须先使和相乘后，再对其后的多项式进行微分运算，否则，会少一项系数。希望读者记住这一特点，不要做过多的理论研究。另外，注意非齐次方程得特解与右端必为同名函数这一特征。【例8】 解： 【例9】 解：先求再取结果，即得【例10】解微分方程。解： 求不能再使用行列式，否则，还需要求系数待定系数的关系，因为只能有四个独立的待定系数。故 得 五各类一阶方程的解法 一阶方程共有6大类型：全（全微分）、离（可分离变量）、线（）、同（同次的齐次方程）、伯（伯努利）、倒（化为倒栽葱求解）。先定型，后定法。 5.1
9、 分离变量型 适应形如： 5.2 同次型-一元平移化方法直接同次型：形如 等，使用一元化换元。 令 。换元同次型：形如 微分方程的换元解法， 使用一元化+平移法换元。 当时 直接使用一元化换元当 则 ，使用一元化换元， 令 求解。不全为0 解方程组交点 ，先用平移法，再用一元化，即 令 5.3 伯努利方程变系数的倍形如 ， 称伯努利方程。令 因为 5.4 全微分法 如构成全微分，令 求解方法有两种： 一般法 凑微分法（是求解这类方程的主要方法）。5.5 反函数型（倒栽葱）。利用关系 变换原方程。陈氏第20技 全离线 同伯倒；定型定法多思量。 格林模 凑微分；分离两边各自积。 线性型 套公式；同
10、次平移一元替。 伯努利 倍；倒栽葱型两定理。【例11】已知可导，且，求。解：这类题型的解法定势是：先令自变量为零，尽可能求出，然后令。 令 令 【例12】 解：先定型，后顶法。显然本题为：同次型。 令 【例13】 解：可转化的换元同次型。令解方程组 令再令【例14】 解：换元同次型。令再令 【例15】 求 解： 需要求导变形。 【例16】设在上可导，且满足 求；证明：。 解：先变形在求导。 利用牛顿-莱布尼茨公式和积分比较定理 【例17】 解：先变形，再定型。 【例18】 解：属于倒栽葱型。利用常数变易法令 代入原方程【例19】 解：先换元，再定型 令 令代入原方程 （隐式解形式）【例20】
11、解：先变形，再定型。【例21】 解： 令（隐式解形式）六各类二阶及高阶常微分方程的解题技巧6.1 二阶常系数齐次方程： （为常数）通的特点 特征值方程：，如解为实数，则特解具有指数形式，如为纯虚数，特解具有三角振荡形式或，如为复数，特解具有三角振荡形式或，如有重根，则出现幂因子。即： 6.2 线性二阶微分方程解的重要定理，可以是的函数若 是 的两个相异的特解，则为 的解。若 是 的三个特解，则为对应齐次方程的两个线性无关的特解（也可以是，余类推），并且 是的通解。（通解也可以是，余类推）。陈氏第21技 微分方程解多少；幂指弦弦到了头。 非齐特解差齐特；本征方程回故乡。 叠加原理：如 是的特解
12、是的特解 则 是的特解6.3 二阶或部分高阶方程类型常系数线性型：，为常数， 采用微分算子求解 多次积分型： 缺型： 令 缺型： 令 欧拉型： 特征是导数阶数相同方次的自变量构成每一项 令，化成常系数线性型其中一般项公式： 陈氏第22技 二阶方程不可慌； 非齐特欧算子帮。 两缺定势挂心上； 特殊解法闪金光。【例22】 解：常数变易求特解 代入 （*）【例23】 解：令【例24】解：【例25】若 是 的三个特解，则下列哪个正确（） 解：=，故选。【例26】下列微分方程中，从为通解的是（）。 解：所求方程的等价形式为特征方程：，故选。【例27】已知都是某非线性微分方程的解，试求此方程。解：【例28】可微，求。解： 【例29】在上连续，满足方程，求。解：【例30】已知，求解。解： 【例31】在有二阶导数，解方程：。解： 【例32】求解微分方程。解： 【例33】求解微分方程 解： 令 七常微分方程应用题【例34】 设函数在0,+上连续，且,已知在上的平场值等于与的几何平均值，求。解： 令 【例35】 设具有一阶连续导数，且,又 是全微分方程，求，并求此全微分方程的通解。解：将)代入原方程【例36】 在上半平面求一条向上凹的曲线，其任一点处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数（Q是法线
