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1、第八章 常微分方程与差分方程2008考试内容常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利(Bernoulli)方程 全微分方程 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉(Euler)方程 微分方程的简单应用2008考试要求1. 了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。2. 掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。3. 会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量代
2、换解某些微分方程。4. 会用降阶法解下列形式的微分方程:。5. 理解线性微分方程解的性质及解的结构。6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。7. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。8. 会解欧拉方程。9. 会用微分方程解决一些简单的应用问题。2008差分方程考试内容(数学3专题) 差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶常系数线性差分方程 差分方程的简单应用2008差分方程考试要求(数学3专题)1了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。2掌握变一阶常系数线性差分方程的求解方法。
3、3会用差分方程求解简单经济应用问题。 第一节 常微分方程一 微分方程的解的结构与性质1.1 微分方程的形式: 一般形式: 标准形式: 评 注 注意上述形式中的及其各阶导数只是一次项,这是因为我们研究的是线性(特征是:只含及其各阶导数得的一次项,否则,就是非线性方程范畴了,当然对一阶微分方程可能有例外:如伯努利方程等。)微分方程类型,微分方程的阶次是指导数的最高阶次,另外,考点中,一般指常系数(只有一阶微分方程可以为非常系数)线性微分方程。1.2 微分方程的特解与通解及其解的结构 不含待定常数的解称为特解,如,含有待定常数的解称为通解,如。阶齐次微分方程有无穷个特解,但只有个线形无关的特解,只要
4、任意取个线形无关的特解的线形叠加就是原微分方程的通解。阶非齐次微分方程有无穷个特解,但只有个线形无关的特解,其中,对应的齐次方程有个线形无关的特解,线形叠加是该齐次方程的通解,另一个特解是属于阶非齐次微分方程,所以原非齐次微分方程的通解为。另外解有显式解和隐式解两种表述方式。研考范围内,一般对一阶微分方程的标准形式没有常系数限制,对二元和二元以上的高阶微分方程来说,标准形式或经过变换后的方程(如欧拉方程等)必须是常系数,一般只需要掌握2-3阶就可以了,而且,无论几阶常系数微分方程,它们对应的齐次方程的解法只有一个,即特征值法,它们的非齐次方程的特解一般都使用微分算子法求得。评 注 一旦给定常系
5、数齐次方程,就可以求出特征值;反过来,一旦知道了特征值,就可以确定该齐次方程的具体形式,如为实数,则齐次方程的特解形式必为指数项,如为纯虚数,则齐次方程的特解形式必为振荡项,如为复数,则齐次方程的特解形式必为,如果为重根,则特解必含幂因子。这一规律是求解该类题型的理论根据,切记。另外,无论什么样的线性常系数方程,特解形式不外乎“幂,指,弦,弦” 特征。二常数变易法常数变易法的思想是将通解中的待定常数换成变量后,再代入原方程求解。可以无条件求解一阶非齐次方程,也可以在一定条件下求高阶非齐次方程。2.1 一阶非齐次方程 的常数变易法 求对应齐次方程的通解 令代入原方程解得原方程的解:【例1】求微分
6、方程的特解。解:原方程变形为 2.2 二阶非齐次方程 的常数变易法 已知或必须能容易求出的两个特解,否则不能利用常数变易法 令代入原方程解得原方程的解:【例2】求的通解。 解:容易观察原方程对应的齐次方程有两个特解 令原方程的解为 代入原方程,可得通解 已知或必须能观察求出的一个特解, 令代入原方程,可求出通解。【例3】求的通解解:容易观察原方程对应的齐次方程有一个特解 令 代入原方程,得评 注 也可以这么做: 如容易观察出一个特解 则令 另一特解为 代入原方程三各类研考中所考微分方程的5大题型 1及其伯努利方程;有定势求解方法; 2;属于缺型,有定势求解方法; 3;属于缺型,有定势求解方法;
7、 4,涉及的题型比较灵活;后面有系统研究。 5;有定势求解方法。四微分算子法求非齐次方程的特解 形如 令 ,则 的求法规则 例如: 再根据 或 求得 展开项的个数由多项式的最高次幂决定,参见【例4】。 可化成,计算结果取虚数即可,参见【例9】。陈氏第19技 算子解 真方便; 遇指遇弦直代换; 几重零母几次幂。 遇多项 级数帮; 最高次 去截断; 积分总在最后边。 遇混合 指出鞘; 平移算符作后面; 双弦能化指实虚。评 注 与算子解法有关的考点有三:第一,求常系数非齐次方程的特解;第二,求常系数微分方程组的通解;第三,求欧拉方程的特解。【例4】求解 为实数解: 【例5】解: 【例6】解: 【例7
8、】 解: 评 注 此题解法顺数第一步,即,如写成,则计算相当繁琐,建议不要采用。此题解法倒数第二步,必须先使和相乘后,再对其后的多项式进行微分运算,否则,会少一项系数。希望读者记住这一特点,不要做过多的理论研究。另外,注意非齐次方程得特解与右端必为同名函数这一特征。【例8】 解: 【例9】 解:先求再取结果,即得【例10】解微分方程。解: 求不能再使用行列式,否则,还需要求系数待定系数的关系,因为只能有四个独立的待定系数。故 得 五各类一阶方程的解法 一阶方程共有6大类型:全(全微分)、离(可分离变量)、线()、同(同次的齐次方程)、伯(伯努利)、倒(化为倒栽葱求解)。先定型,后定法。 5.1
9、 分离变量型 适应形如: 5.2 同次型-一元平移化方法直接同次型:形如 等,使用一元化换元。 令 。换元同次型:形如 微分方程的换元解法, 使用一元化+平移法换元。 当时 直接使用一元化换元当 则 ,使用一元化换元, 令 求解。不全为0 解方程组交点 ,先用平移法,再用一元化,即 令 5.3 伯努利方程变系数的倍形如 , 称伯努利方程。令 因为 5.4 全微分法 如构成全微分,令 求解方法有两种: 一般法 凑微分法(是求解这类方程的主要方法)。5.5 反函数型(倒栽葱)。利用关系 变换原方程。陈氏第20技 全离线 同伯倒;定型定法多思量。 格林模 凑微分;分离两边各自积。 线性型 套公式;同
10、次平移一元替。 伯努利 倍;倒栽葱型两定理。【例11】已知可导,且,求。解:这类题型的解法定势是:先令自变量为零,尽可能求出,然后令。 令 令 【例12】 解:先定型,后顶法。显然本题为:同次型。 令 【例13】 解:可转化的换元同次型。令解方程组 令再令【例14】 解:换元同次型。令再令 【例15】 求 解: 需要求导变形。 【例16】设在上可导,且满足 求;证明:。 解:先变形在求导。 利用牛顿-莱布尼茨公式和积分比较定理 【例17】 解:先变形,再定型。 【例18】 解:属于倒栽葱型。利用常数变易法令 代入原方程【例19】 解:先换元,再定型 令 令代入原方程 (隐式解形式)【例20】
11、解:先变形,再定型。【例21】 解: 令(隐式解形式)六各类二阶及高阶常微分方程的解题技巧6.1 二阶常系数齐次方程: (为常数)通的特点 特征值方程:,如解为实数,则特解具有指数形式,如为纯虚数,特解具有三角振荡形式或,如为复数,特解具有三角振荡形式或,如有重根,则出现幂因子。即: 6.2 线性二阶微分方程解的重要定理,可以是的函数若 是 的两个相异的特解,则为 的解。若 是 的三个特解,则为对应齐次方程的两个线性无关的特解(也可以是,余类推),并且 是的通解。(通解也可以是,余类推)。陈氏第21技 微分方程解多少;幂指弦弦到了头。 非齐特解差齐特;本征方程回故乡。 叠加原理:如 是的特解
12、是的特解 则 是的特解6.3 二阶或部分高阶方程类型常系数线性型:,为常数, 采用微分算子求解 多次积分型: 缺型: 令 缺型: 令 欧拉型: 特征是导数阶数相同方次的自变量构成每一项 令,化成常系数线性型其中一般项公式: 陈氏第22技 二阶方程不可慌; 非齐特欧算子帮。 两缺定势挂心上; 特殊解法闪金光。【例22】 解:常数变易求特解 代入 (*)【例23】 解:令【例24】解:【例25】若 是 的三个特解,则下列哪个正确() 解:=,故选。【例26】下列微分方程中,从为通解的是()。 解:所求方程的等价形式为特征方程:,故选。【例27】已知都是某非线性微分方程的解,试求此方程。解:【例28】可微,求。解: 【例29】在上连续,满足方程,求。解:【例30】已知,求解。解: 【例31】在有二阶导数,解方程:。解: 【例32】求解微分方程。解: 【例33】求解微分方程 解: 令 七常微分方程应用题【例34】 设函数在0,+上连续,且,已知在上的平场值等于与的几何平均值,求。解: 令 【例35】 设具有一阶连续导数,且,又 是全微分方程,求,并求此全微分方程的通解。解:将)代入原方程【例36】 在上半平面求一条向上凹的曲线,其任一点处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线