《2018-2019学年高中数学 第二章 数列 专题2.3 等差数列的前n项和试题 新人教A版必修5》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2018-2019学年高中数学 第二章 数列 专题2.3 等差数列的前n项和试题 新人教A版必修5(24页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3 等差数列的前n项和1数列前n项和的概念一般地,我们称_为数列的前n项和,用表示,即由此易得与的关系为2等差数列的前n项和公式首项为,末项为,项数为n的等差数列的前n项和为,或3等差数列前n项和公式的函数特性在等差数列中,令,可得,则(1)当,即时,是关于n的二次函数,点是二次函数图象上一系列孤立的点; (2)当,即时,是关于n的一次函数,即或常函数,即,点是直线图象上一系列孤立的点4等差数列前n项和的性质利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质:设等差数列(公差为d)和的前n项和分别为,(1)(2)若数列共有项,则,;若数列共有项,则,(3),(4)构成公
2、差为的等差数列(5)特别地,当时,;当,时,K知识参考答案:1 23K重点等差数列的前n项和公式的应用、基本量的计算K难点等差数列的前n项和的性质及应用、数列求和问题K易错解决Sn的最值问题时应注意等差数列中为0的项由前n项和求通项公式(1)已知求通项公式:利用即可求解;(2)已知与之间的关系求:由关系式消去,建立与或之间的关系求;或由关系式消去,建立与之间的关系求,进而求已知数列的前n项和为,若,则数列的通项公式_【答案】【解析】当时,;当时,而,故数列的通项公式为已知数列的前n项和为,若,求证:是等差数列,并求【答案】证明见解析,【解析】当时,由,可得,因为,两边同时除以可得,所以数列是等
3、差数列因为,所以,即当时,故【名师点睛】利用关系式解题时务必要注意的条件等差数列前n项和的基本量计算在等差数列问题中共涉及五个量:a1,d,n,an及Sn,利用等差数列的通项公式及前n项和公式即可“知三求二”,其解题通法可以概括为:设出基本量(a1,d),构建方程组因此利用方程思想求出基本量(a1,d)是解决等差数列问题的基本途径在等差数列中,(1)若,则_;(2)若,则_;(3)若,则_【答案】(1)32;(2)54;(3)184【解析】(1)方法1:因为,所以,解得,所以方法2:因为,所以,即,所以,所以(2)方法1:因为,所以,所以方法2:因为,所以(3)根据已知条件利用等差中项可得,则
4、【名师点睛】求数列的基本量的基本方法是建立方程组,或者运用等差数列的相关性质整体处理,以达到简化求解过程、优化解法的目的等差数列前n项和的性质及应用一个等差数列的前10项和为30,前30项的和为10,则前40项的和为_【答案】【解析】方法1:设其首项为,公差为d,则,解得,故方法2:易知数列成等差数列,设其公差为d,则前3项和为,即,又,所以,所以,所以方法3:设,则,解得,故,所以方法4:因为数列是等差数列,所以数列也是等差数列,点在一条直线上,即,三点共线,于是,将,代入解得方法5:因为,又,所以,所以方法6:利用性质:,可得方法7:利用性质:当,时,由于,可得【名师点睛】(1)通过一题多
5、解可清晰地看到,虽然方法1是此类问题的通法,但是在解决等差数列问题时,运用等差数列前n项和的性质起到了简化运算的作用,达到了事半功倍的效果,极大地提高了解决问题的速度(2)对于方法4,我们可以证明:是等差数列,且,成等差数列,其实质是成等差数列(3)为等差数列为常数(1)设是等差数列的前n项和,若,则_;(2)若数列,的前n项和分别为,且,则_【答案】(1);(2)【解析】(1)由等差数列前n项和的性质得(2)由等差数列前n项和的性质得【解题技巧】涉及一个有限的等差数列的奇数项和与偶数项和之比的问题,宜用等差数列前n项和的性质(2)求解;涉及两个等差数列有限项和之比的问题,通常是将其转化为两个
6、等差数列前n项和之比来处理与等差数列有关的前n项和的最值问题设等差数列的首项为,公差为d,则,有最大值,无最小值,只有前面的有限项为非负数,有最大值,无最小值,只有前面的有限项为负数,有最小值,无最大值,有最小值,无最大值数列为常数列已知等差数列的前n项和为,公差为d(1)若,且最大,则整数_;(2)若,且最大,则整数_【答案】(1)1009;(2)13【解析】(1)由等差数列的性质可知,所以,又,即,结合可得,因此最大,故(2)方法1:由,可得,解得,则,显然最大,故方法2:同方法1得,故,显然对于,当时,;当时,故最大,方法3:由于设是关于n的二次函数,点是二次函数图象上一系列孤立的点,由
7、,可得,的对称轴为,易知图象开口向下,故最大,即最大,故【名师点睛】由于,由二次函数的最大值、最小值的知识及知,当n取最接近的正整数时,取得最大(小)值但应注意,最接近的正整数有1个或2个数列求和问题对于数列求和问题,有以下几种类型:1求数列的前n项和求和的关键是分清哪些项为正的,哪些项为负的,最终转化为去掉绝对值符号后的数列进行求和已知等差数列的前n项和,求数列的前n项和【答案】【解析】当时,;当时,且,所以显然,当时,;当时,;当时,故当时,当时,综上,【名师点睛】含绝对值的求和问题应首先考虑去掉绝对值符号,找准临界值,分类讨论进行求解2倒序相加求前n项和教材中等差数列的前n项和公式的推导
8、采用的就是倒序相加法,此处不再赘述3裂项相消求和裂项相消法是将某些特殊数列的每一项拆成两项的差,并使它们在求和的过程中出现相同的项,且这些项能够相互抵消,从而将求n个数的和的问题转化为求几个数的和的问题已知数列的通项公式为,则其前n项和_【答案】【解析】因为,所以【名师点睛】在应用裂项相消法求和时应注意:把通项裂项后,是否恰好等于相应的两项之差;在正负项抵消后,是否只剩下了第一项和最后一项,是否还有其他项已知数列的前项和为,数列的前项和为,若,求的值【答案】【解析】由可得,当时,从而数列的通项公式为当时,由得,上述两式相减,可得,当时,得,符合上式,故数列的通项公式为从而忽略等差数列中为0的项
9、而出错设等差数列的前n项和为,公差为d,且满足,则当n为何值时取得最大值?【错解】由,可得,即,由可知,解不等式组即得又,故当时取得最大值【错因分析】由于,所以,当或时最大,错解中忽略了数列中为0的项【正解1】由,得,即,由可知,解不等式组即得由可知,当或时取得最大值【正解2】由,可得,所以,由并结合对应的二次函数的图象知,当或时最大【正解3】由,得,即,由可知,故当或时取得最大值【名师点睛】在等差数列中,若,则(1)为偶数当时最大;(2)为奇数当或时最大1设等差数列的前项和为,若,则A180B90C72D1002设等差数列的前n项和为,若,则可计算出ABCD以上都不对3在等差数列中,前7项和
10、,则其公差是ABCD4已知等差数列的前项和为,则的值为ABCD5若一等差数列前三项的和为122,后三项的和为148,又各项的和为540,则此数列共有A3项B12项C11项D10项6已知数列的前项和为,若,则A90B121C119D1207已知等差数列的公差为正数,前项和为,且,则为ABCD8若数列满足且,则使的的值为ABCD9设为等差数列的前项和,若,则_10数列是等差数列,是它的前项和,已知,则_11若等差数列的前项和,则通项公式_12已知等差数列共有项,其中奇数项之和为290,偶数项之和为263,则_13甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动,甲第一分钟走2m,以后每分钟比前1分钟
11、多走1m,乙每分钟走5m(1)甲、乙开始运动后,几分钟相遇;(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前1分钟多走1m,乙继续每分钟走5m,那么开始运动几分钟后第二次相遇?14已知等差数列中,(1)求公差的值;(2)求数列的前项和的最小值15设为等差数列的前项和,若,公差,则的值为A5B6C7D816已知等差数列的前项和为,若,则的值为A17B16C15D1417已知数列为等差数列,若且它的前项和有最大值,则使成立的的最大值为ABCD18已知是等差数列的前项和,且,给出下列五个命题:;数列中的最大项为;其中正确命题的个数为A2B3C4D519已知等差数列的前项和为,若,则_20已知
12、等差数列,的前项和分别为,且满足,则的值为_21(1)设是等差数列的前n项和,若,则_;(2)若数列,的前n项和分别为,且,则_22已知各项均为正数的数列中,是数列的前n项和若对任意的,(1)求常数p的值;(2)求23已知数列的前项和,求数列的前项和24已知数列的前项和为,且满足,(1)求证:是等差数列;(2)求的表达式;(3)若,求证:25(2018新课标全国理)设为等差数列的前项和,若,则ABCD26(2016新课标全国理)已知等差数列前9项的和为27,则A100B99C98D9727(2017新课标全国理)记为等差数列的前项和若,则的公差为A1B2C4D828(2018北京理)设是等差数列,且,则的通项公式为_29(2016江苏)已知是等差数列,是其前项