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1、第二章 函数、导数及其应用一、必记3个知识点1函数零点的定义对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点2二次函数yax2bxc(a0)的图像与零点的关系000二次函数yax2bxc (a0)的图像与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个零个3二分法对于在区间a，b上连续持续且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过持续地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法二、必明2个易误区1函数yf(x)的零点即方程f(x)0的实根，易误为函数点2由函数yf(x)在闭
2、区间a，b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，如图所示所以f(a)f(b)0是yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件三、必会3个方法1函数零点个数的判断方法(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存有性定理：利用定理不但要求函数在区间a，b上是连续持续的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点2三个等价关系(三者相互转化)3用二分法求函数零点近似值的步骤第一步：确定区间a
3、，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；第二步：求区间(a，b)的中点c.第三步：计算f(c)；若f(c)0，则c就是函数的零点；若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)第四步：判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二、三、四步考点一函数零点所在区间的判定1(2014保定调研)函数f(x)log3xx2的零点所在的区间为( )A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)解析：选B 法一：函数f(x)log3xx2的定义域为(0，)，并且在(0，)上递增、连续，又f(1)10，所以
4、函数f(x)log3xx2有唯一的零点且零点在区间(1,2)内法二：作出函数ylog3x与yx2的图像(图略)，不难看出其交点的横坐标在区间(1,2)内，故选B.2(2013朝阳模拟)函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )A(1,3) B(1,2) C(0,3) D(0,2)解析：选C 由条件可知f(1)f(2)0，即(22a)(41a)0，即a(a3)0，解得0a3.3.函数f(x)x23x18在区间1,8上_(填“存有”或“不存有”)零点解析：法一：f(1)123118200，f(1)f(8)0，又f(x)x23x18，x1,8的图像是连续的，故f(x)
5、x23x18，x1,8存有零点法二：令f(x)0，得x23x180，x1,8，(x6)(x3)0.x61,8，x31,8，f(x)x23x18，x1,8存有零点答案：存有类题通法判断函数零点所在区间的方法判断函数在某个区间上是否存有零点，要根据具体题目灵活处理当能直接求出零点时，就直接求出实行判断；当不能直接求出时，可根据零点存有性定理判断；当用零点存有性定理也无法判断时可画出图像判断考点二判断函数零点个数典例 (1)已知函数f(x)则函数yf(f(x)1的零点个数是( )A4 B3 C2 D1(2)函数f(x)xx的零点个数为( )A0 B1 C2 D3解析(1)由f(f(x)10可得f(f
6、(x)1，又由f(2)f1.可得f(x)2或f(x).若f(x)2，则x3或x；若f(x)，则x或x，综上可得函数yf(f(x)1有4个零点(2)令f(x)xx0，得xx，求零点个数可转化为求两个函数图像的交点个数如图所示，由图可知，两函数图像有1个交点，故选B.答案(1)A(2)B类题通法函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是：(1)令f(x)0；(2)构造y1f1(x)，y2f2(x)；(3)作出y1，y2图像；(4)由图像交点个数得出结论考点三函数零点的应用典例若函数f(x)xln xa有两个零点，则实数a的取值范围为_解析令g(x)xln x，h(x)a，则问题可转
7、化成函数g(x)与h(x)的图像有两个交点g(x)ln x1，令g(x)0，即ln x1，可解得0x0，即ln x1，可解得x，所以，当0x时，函数g(x)单调递增，由此可知当x时，g(x)min.在同一坐标系中作出函数g(x)和h(x)的简图如图所示，据图可得a0时，由f(x)ln x0，得x1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x0时，函数f(x)2xa有一个零点，令f(x)0得a2x，因为02x201，所以0a1，所以实数a的取值范围是00，f(x)exx2在R上是增函数而f(2)e240，f(1)e130，f(0)10，f(2)e20，f(0)f(1)1时，由f(x)1log2x0
8、，解得x，又因为x1，所以此时方程无解综上函数f(x)的零点只有0.2设f(x)x3bxc是1,1上的增函数，且ff0，则方程f(x)0在1,1内()A可能有3个实数根 B可能有2个实数根C有唯一的实数根 D没有实数根解析：选C由f(x)在1,1上是增函数，且ff0，知f(x)在上有唯一零点，所以方程f(x)0在1,1上有唯一实数根3用二分法求函数yf(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)f(4)0，给定精确度0.01，取区间(2,4)的中点x13，计算得f(2)f(x1)0，则此时零点x0_(填区间)解析：由f(2)f(3)0时，g(x)2x20有唯一解x1；当x0时，g(x)x2x
9、1，令g(x)0，得x2(舍去)或x，即g(x)0有唯一解综上可知，g(x)f(x)x有2个零点5(2013开封一模)下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是()解析：选CA中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；B中函数的图像不连续；D中函数在x轴下方没有图像，故选C.6(2014荆门调研)已知函数yf(x)的图像是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：x123456y124.4357414.556.7123.6则函数yf(x)在区间1,6上的零点至少有()A2个 B3个 C4个 D5个解析：选B依题意，f(2)f(3)0，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0，所以y2x没有零点，同样y2x也没有零点；f(x)xx1，当x0时，f(x)2，当x0时，f(x)2，故f(x)没有零点；令f(x)xx10得x1，故选D.8(2013石家庄高三模拟考试)x表示不超过x的最大整数，例如2.92，4.15，已知f(x)xx(xR)，g(x)log4(x1)，则函数h(x)f(x)g(x)的零点个数是()A1 B2C3 D4解析：选B作出函数f(x)与g(x)的图像如图所示，发现有2个不同的交点9用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算
