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1、第二部分：泰勒展开式1.23nn 1X/XXX,X x R e =1 | -e-1! 2!3! n! (n 1)!其中(0日0 ,且x=1时，f (x) +,求k的取值范围.x -1 X(i)略解得a=1, b=1. (n)方法一：分类讨论、假设反证法由知f(x)二詈;，所以f(x)-(gk x T x1 21nx+(k-1)(x2 1-1).X2(k -1)(x1) 2x(i)当 k 0时,由 h(x)=22k(x2 1)-(x -1)2知，当 x#1 时，h(x)0,可得，h(x)A0;当 xW(1,g)时，h(x)0 ，从而当 x0 且 x#1 时，f(x) -(-ln-x +k) 0
2、,即 f (x) -ln-x k- 1-xx-1 xx-1 x(ii1)当 0 k 0,故 h()x 0 ，而 h)1 -k- 一，10 ，故当 xw (1,)1 -k时,一 1h(x) 0,可得 2 h(x) 0,可得21 -x，h(x)0,与题设矛盾.综上可得，k的取值范围为(-笛,0.注：分三种情况讨论： k 0；0k1；k之1不易想到.尤其是00,且x#1时，f(x)AJn+K,即皿+工皿十 x -1 x x 1 x x -1 xx ln x1也即k ：x1xxln x 2xln xx -11 -x2十 1，己 g(x)=2x ln x则g(x)工_2_2_22(x 1)ln x 2(
3、1 -x ) 2(x1)2 2(1-x )2 2(1-x )(ln x1 - x2 1-x2 x2 11 -x21-4x(1 -x2)2记 h(x) =ln x +，贝U h (x) = _ +2- =2T2 0 ,x2 1x (1+x2)2 x(1+x2)2从而h(x)在(0,+)上单调递增，且h(1) = 0,因此当xw(0,1)时，h(x)0,当xw (1,+*)时，h(x)0；当xW(0,1)时，g(x) 0,所以 g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,收)上单调递增.由洛必达法则有lim g(x) =lim(誓 +1) =1 +lim 型与=1 +lim 型士 =。, x1x 1
4、1-xx1 1。xx12x即当xt 1时，g(x)T 0 ,即当x 0,且x #1时，g(x) 0 .因为k 0,且x#1时，f(x)A史上+K成立，k的取值范围为(m。.x -1 x注：本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数k分离出来.然后对分离出来的函数,、2xln xg(x)=k1 求导，研究其单调性、极值.此时遇到了 “当x=1时，函数g(x)值没有意义”这一问题，很多考生会陷入困境.如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法例(2010 新)：设函数 f (x) =ex -1 -x -ax2.(I)若a=0,求f(x)的单调区间；(n
5、)当x至0时，f(x)至0,求a的取值范围.应用洛必达法则和导数(n)当 x时，f (x)至 0,即 ex 1x 之 ax2.当x =0时，a w R;当xa0时，ex1 x之ax2等价于a h(0) =0 ,因此当 xw(0,+m)时，g(x) =h(x) 0 ,从而 g (x)=xe -1 - x在(0,+c)上单调递增.由洛必达法则有,ex -1 -xex -1ex1叫g(x)=四 =四.=l四万=2即当xt 0时,综上所述，当a11-g(x)T -,所以当xW(0,+o)时，所以g(x)-,因此 221 一W1且x之0时，f(x)之0成立.2自编：若不等式.3sinxx-ax对于乂匚(
6、0,万)恒成立，求a的取值范围.解：应用洛必达法则和导数xsinxxsinx3sin x-xcosx。2x当xu(0,；)时，原不等式等价于 a3.记f(x)=3一，则f (x) =42xxx记 g(x) =3sinx -xcosx-2x ,贝U g(x) =2cosx +xsinx 2.因为 g(x) = xcosx-sinx =cosx(xtanx),兀g”(x) =xsinx0,所以 g(x)在(0,万)上单调递减，且 g(x)0,所以g(x)在(0,)上单调递减，且g(x) 0.因此g(x)在(0,)上单调递减, 22且 g(x) 0,故 f (x) =9早 0,所以 h(x) =(x
7、1)ex +1 在(0,+g)上单调递增，且 h(x) Ah(0) = 0 ,所以 h(x) = (x 2)ex + x + 2 在(0,+比)上单调递1 - cosx二 lim；x 0 3x2sinx cosx 1=lim = lim 一 二 一，x)0 6x x)0 66 x- sin x由洛必达法则有xim1f二如7-即当xt0时，g(x)T1,即有f(x)0,求a的取值范围.解：(n)应用洛必达法则和导数 x之0时,f (x)至0,即 x(ex -1) ax2.当 x = 0时，aw R ；当 x 0时,xxx -x(ex -1)之 ax2等价于 ex -1 ax ,也即 a.e -1
8、e -1(x - 1)e 1E.1己 g(x)=, x= (0,-)，则 g(*) = xxxxxx记 h(x)=(x1)e +1 , x= (0,y),则 h(x) =xe 0 ,因此 h(x) = (x1)e +1 在(0,也)上单倜递增，且xh(x)e -1h(x)h(0) =0,所以g(x)=-(-)0,从而g(x) = 在(0,收)上单调递增.xx由洛必达法则有lim g(x) = limxe -1xHmep =1 ,即当 xt 0 时，g(x)T 1 所以 g(x)1 ,即有 a1 .综上所述，当a-1 时，f (x) ；(n)x 1(n)应用洛必达法则和导数,x设当x之0时，f (x) 0,此时f (x)之0.当a ,贝U 0, f (x) 不成立;a ax 1ax 1当a之0时,一x 一 v x 一 当 x 父0 时，f(x)即 1e;若 x = 0,则 aWR；ax 1ax 1若x a0,则1e 等价于 上e ，即a Mx xxe - e 1ax 1x ax 1xxe - x-ex 1x xe 记g(x)=xxe -xx
