《复合函数概念精析精编版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复合函数概念精析精编版（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、复合函数概念精析蓝田县澳湖中学王锦锋复合函数概念精析复合函数是中学数学深化函数概念，提高运用函数思想解决数学问题能力的重要工具，是进一步学习高等数学的重要基础，也是历届高考常考不衰的热点。但高中数学教材未作介绍，而其他教辅材料上也仅给出描述性的非严格定义，因此，高一数学教学与高考数学复习中介绍有关内容很有必要。一、复合函数的概念我们见到的复合函数的描述性定义是：如果y是u的函数，而u又是x的函数，即y=f(u),u=g(x),那么y关于x的函数y=fg(x)叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量。例如y=sin2x它与y=sinx不同，不是基本初等函数，而是由三角函数y=sinu和一次函数u
2、=2x经过“复合”而成的一个函数。由于上述定义中对“复合”的定义没有明确界定，因而很多同学对复合函数的概念似是而非，含混不清，为此，我们精读这个定义，字斟句酌，纠错补缺，以使我们正确理解复合函数的概念。1、 由字面理解“复合”本来是指“合在一起，结合起来”的意思，但在复合函数的定义中，对复合步骤的方式有特殊的约定。它不是泛指把几个简单函数随意地结合在一起，例如用四则运算把它们结合起来得到的形如a-f(x)士b-g(x)或a-f(x)b-g(x)的函数，而是专指把几个映射，像工厂中的生产流水线，依先后顺序合在一起，对同一自变量逐次映射构作的一个复合映射确定的函数。这里的几个映射可以相同，也可以不
3、同，但只能是常数与基本初等函数间进行的哥的运算，指数运算，对数运算，三角运算，反三角运算。自变量像被加工的零件依次通过第一个映射后到第二个映射，一直到通过全部映射。例如，复合函数y=sin2x是自变量x先“乘2”(第一次映射)，再“取正弦”(第二次映射)，最后得到y关于x的一个函数sin2x。因此有人说复合函数是函数的函数。为了叙述和应用的方便，我们通常用“层”来描述上述不同的映射所对应的函数。从外向内看，函数y=fg(x)中称f定义的函数y=f(u)为外层函数(外函数)，称g定义的函数u=g(x)为内层函数(内函数)，且称函数y=fg(x)为函数f和g复合一次得到。这里外层函数的映射法则f和
4、内层函数的映射法则g构作的复合函数的映射法则称为复合映射f。g(注意：不能把f。g读作“f乘g”，因为复合映射不具有交换律，即fog？gr,这是复合映射很重要的一个基本特征)。有人形容复合映射f“g是具有传递性的两个映射f和g的链条，可以帮助我们理解复合函数的内涵。2、 从函数定义理解既然函数y=fg(x)可视为函数y=f(u)和函数u=g(x)复合得到，因而它们都必须符合函数的定义，这才是复合函数定义的关键所在。除前面对复合映射结构特征的分析外，我们还须从定义域和值域都是非空的数集出发，考察复合函数定义的相应要求。设函数u=g(x)的定义域是D,值域是Mt再设y=f(u)的定义域是N,值域是
5、R,则DMN、R都是非空的数集。从“复合”中我们发现内层函数u=g(x)具有二重性：一方面它是自变量x的函数，当x6D时，则有g(x)6M;另一方面它又是函数y=f(u)的自变量，当g(x)=u6N时，则有y=f(u)6R。要使y=f(u)仍然是函数，就要求u=g(x)的值域M和y=f(u)的定义域N必须有交集(非空数集)。MN巾是复合函数的一个必要但不充分的条件，也就是说，函数y=f(u)的定义域N,既受到外层函数的映射法则f的制约，又受到内层函数u=g(x)的值域M的限定。只看一面，不看另一面就会犯概念的错误。有的同学不加分析地认为任何两个函数都可以复合成一个复合函数，事实却不然，例如y=
6、ln(sinx-2),y=arccos(x2+2)等都不是复合函数，因为y=lnu是自然对数，定义域N必须符合u0(u6N),但u二sinx-2,而|sinx|w1故sinx-20x|sinx-20(使根式有意义)，210g2(x2+1)0(使对数有意义)，x2+10(使对数有意义)，解得-1wx-w或yxw1,故所求函数的定义域为-1,-1)U(9,1)。(2)已知函数y=f(x)的定义域，求复合函数y=fg(x)的定义域。因为f代表同一映射，只需用代换法则，先将原函数的定义域写成x的不等式，再将x换成中间变量g(x),解所得不等式即可。例2、已知函数y=f(x)的定义域是0,1,求函数y=
7、f(sinx-cosx)的定义域。解：由题设知，0Wsinx-cosxW1,即0WdEsin(x-)12kn+：Wx2kn+1,或(2k+1)nxW(2k+1)二十jkZ.故函数y=f(sinx-cosx)的定义域是2kn+；,2ku+1u(2k+1)兀，(2k+1).+：keZ.(3)已知复合函数的定义域，求外层函数的定义域。实质是从已知复合函数中x的取值范围，求出这个复合函数的中间变量的范围。(或内层函数的值域)例3、已知函数y=f()的定义域是100,1000,求函数y=igx-1f(x)的定义域。解：由100x1000得，2Wigx3./.1lgx-12.11.2 igx-1故函数y=
8、f(x)的定义域是1,1.22、求函数表达式中学阶段求复合函数表达式大致可归纳为两种题型，一是已知各层子函数的映射法则，求复合函数的表达式；二是已知复合函数适合的函数方程，求复合函数的表达式。(1)已知中间变量，求复合函数。用代换法则像求函数值一样，从内向外逐次将内层函数的表达式代换外层函数的自变量解出。每次代换只看一层，只代换一个中间变量。函数的映射法则是对自变量单x定义的，故复合函数的表达式最终也须将表达式用单x的运算表示。例4、已知函数f(x)=，求函数ff(x)的表达式。2x1_2-x213-2x2-x解：:f(x)=-Lff(x)=f(21)=(2)已知复合函数，求原函数。关键是沟通
9、中间变量与复合函数表达式间的映射关系，找到原函数用中间变量的整体作自变量的映射法则，常用配凑法，换元法，待定系数法等。例5、已知f(cosx-1)=cos2x,求f(x)。解：设cosx-1=t,贝Ucosx=t+1,f(t)=(t+1)2.1cosx1,.一2cosx-10,即一2tW0,故f(x)=(x+1)2,(-2x0)o(3)已知复合函数适合的函数方程，求复合函数的表达式。中学只涉及简单的函数方程，因此，关键是将所求复合函数看作未知变量，根据函数方程的结构特征采用代换方法建立方程组，消元解之。例6、已知af(xn)+f(-xn)=bx,其中a#1,n为奇数，求函数f(x)。解：由已知
10、用-x代换x,由于n为奇数，有af(-xn)+f(xn)=-bx。结合已知条件，可解得f(x n)=bx , a-1而a#1, n为奇数，故f(x n)=bn x oa -1数。(4)已知复合函数，求与外层函数映射法则相同的另一复合函先由已知复合函数求原函数，再由原函数求另一复合函数。例 7、知 f (x+3) = x2+ 2x + 1 ,求函数 f (x-3)解：设 t=x+3,贝U x=t - 3,有f ( t ) = (t-3)2 + 2 (t-3)+1 = (t-2)2,.f(x)=(x-2)故 f (x-3)=(x-3)-2 2= (x-5) 2。3、求值域在复合函数定义域上，先求出最内层函数的值域，再用它作中间函数的“自变量”求出中间函数值域，依次外推直至求出最外层函数的值域。例8.求函数y=arccos(sinx)(-1x2-)的值域。.二2二.解：/-x_-3sinx1.又y=arccosu是减函数。5- . 0 arc cos(sin x) .故新求函数的值域是0,-)4 、判断函数奇偶性通法是根据奇偶性的定义进行判断。容易产生的一类负迁移是:认为构成复合函数的每层简单函数都要有
