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1、dBO a XQh兀ox+h x+q x图(3.1)存在唯一性定理 如几禺刃在/?上连续且关于y满足利普希茨条件，则方程 今=/(x,y),在区间卜-时“上存在唯一解)，=於),0(勺)=)，0，其中/r = min|M = max I/(x,y) M 丿逐步迫近法 微分方程字=/(a- y)等价于积分方程y = y0 +f(xyy)dxax%取 0(勺)=$0，定义(pn =.Vo +/(忑0L1 (x)dx,畀=12可证明 hm(pn(x) =(px)的 y =(px)满足积分方程。通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。命题1先证积分方程与微分方程等价：设y =仅x)是微分方程g = /(X
2、,刃定义于区间a-0x?0的解，则y =似A)是积分方程尸yQ +/(x,y)dx, M xxQ + h定义于区J.qIhx0xa0 + /7上的连续解。反之亦然。证因y =(px)是微分方程=f(x.y)的解，有 dx dx两边从“到xQ + h取定积分卩 - 0(兀0)= J： /(兀祕 x)dx，xQx x0 + h代入初值条件0(弋)=yQ得+j：/（w）dx,xQ x xQ + h即 y = 0(x)是积分方程) = y0 + fA /a 刃.v0 x.v0 + /z 定义于区间.r0 x xQ + hJxo上的连续解。反之，则有+j：/（w）dx,xQ x xQ + h微分之警=f
3、E)dx且当X = XQ时有0(Ao)=为。即y= 0(x)是微分方程芈=f(x,y)定义于区间dx勺S S Ao + 上满足初值条件p(xo) = $0的解。现取0(乜)=为，构造逐步迫近函数序列oW=)o5“.xQx x0 + It“ = 1,2,卩)=)b + g，0”-i(x)dx，命题2对所有，函数序列在AoXAo+/7有定义、连续且满足不等式|%(x)-)o|5b证当 ” =1 时(px) = y0 + f(x,yQ)clx o 显然 (x)在.r0 xa0 + /z有定义、连续且有1% W -Jo| =:fa，yQ)dx y0)dx M (x-x0) Mh b命题2当” =1时成
4、立。设命题2 =n = k时成立，则对n = k + l次+1（兀）=）?o + J： /（x（x）dx知狹+i（x）在XoUo + 力上有定义、连续且有l-4-iW - _y015 /(兀 W)p/AM(x-A0) Mh b命题2当n = k + l时也成立。由数学归纳法，命题2对所有均成立。命题3函数序列他在勺 虫勺+上一致收敛。证只须考虑级数0%(x)+工風一孤T(x)5 xxQ + h (3. 9)k=l在.v0 xxQ + hJl一致收敛。因其部分和为%（ V）+ 工服（X）- 0&T =（Pn 15 (A) - (A) | J： | / (忑 ( ) | M (a -x0 )| W
5、 - (x)| S 可:| W - % g 心 MM (x 一 Xq 磁=罟(x _ 勺) 设对”成立Mi?-Pn W 一 0l1 W| (X - Xo)“, X0 S + h则当xQ xxQ + h时有|%+i(x) - 0“ (x)| S 厶 |/(x, %) - /(x, %_i(x)|dx q： (P.M 一 0”-心)你MV： f xMV： ( w+iSH(x_x)加= 777(x_xo) n %(/7 + 1)!即对所有在xQxxQ + h成立际(切一洪-2)卜耸一於其右端组成正项收敛级数由魏氏判别法，级数（3.9）在xQxxQ + h上一致收敛。即久在x0xxQ+h一致收敛。命题
6、3得证。现设lim%（x） = 0（x）则久X）在XQXXQ + h有定义、连续且b（.Q-）b|Sb命题4 （p.x）是积分方程y = _y0 + f （x, y）dx在.r0 x .r0 4- h上的连续解。%证由利普希茨条件|/（兀（Plt （ ） - /（兀 0）| 厶 9“ （ ） - 0（X）|及（pn（x）在A0 XXQ + k上一致收敛于久X）,知函数序列/（兀,0”（兀）在 勺Xx-Vo即0（刃=）+/（忑0（丫）心Jvo0（Q是积分方程y = y0 + f A /（A，y）clx在勺+力上的连续解。命题4得证。命题5设0（q是积分方程y=y0 +f/（yXv在勺乞心勺+力上
7、的另一连续 解 o 贝lj 0（x） = 0（x）（x0 x Xq + h） o证 现证0（x）也是序列%（%）在勺 H +上的一致收敛极限函数。由0（5）=凡% W = ）b + J： /（X，%-1（A）Jx （“ n 1）卩=Jo + J： /（x*（x）dxbo(v)-以X)| f(x(x)dxM(x-“)|。(兀)一0(X)| szj： |/(X,pQ(x)- /(x,(x)|dx |%(x)-SM/J (x-x0)dx = L(a -a0)2% 2!设 Pn-l (%) - V(X)| S (X X0 ),贝ljMl!1S + l)!（兀-勺严(P(x)- 0(Q| J；(x，0“-i(%)- /(x，卩(Q)|dx 町：0”_心)一 0(%)休 S 牛(_.丫0)厶=nl J%由数学归纳法，对所有，有因此，对所有n ,在.v0 x xQ + h成立MI!1以）一以朋越a但当TOC时（：）/ T0。故%（*）在勺Ho + 力上的一致收敛于0（X）。由 极限的唯一性，得p（x） = 0（x） （x0 xXq + h） o命题5得证o
