《2013年高考数学热点专题专练9-22三角函数、平面向量、立体几何、概率与统计型解答题理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013年高考数学热点专题专练9-22三角函数、平面向量、立体几何、概率与统计型解答题理（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高考专题训练(二十二)三角函数、平面向量、立体几何、概率与统计型解答题5inxcosx gin2xsin x时间：45分钟分值：50分1. (2012 北京)(12分)已知函数f(x) =(1)求f (x)的定义域及最小正周期;(2)求f(x)的单调递增区间.解 (1)由 sinxwo 得 xwkjt (kC Z),故 f (x)的定义域为xC R xwkjt , kCZ.因为f (x)=5inx cosx sin2xsin x= 2cosx(sin x cosx)= sin2 x cos2x 1=逸in ?x 41,i 一 rr2 7t所以f(x)的最小正周期T= 2Y=兀.(2)函数y =
2、 sin x的单倜递增区间为2k u -2, 2kjt + (kJ).,.兀兀.兀.一由 2k 兀-2-w2 x w2卜兀+2-, xwkTt(keZ),得 k 兀一?wxw k 兀+xwkTt(kCZ).88所以f(x)的单调递增区间为卜兀彳，kJ口卜，卜兀+8兀 (kJ).-# -E是BC的中点,(2012 湖北)(12分)如图，已知正三棱柱 ABC-ABG的各棱长都是 4, 动点F在侧棱CC上，且不与点 C重合.(1)当 CF= 1 时，求证：EF AC;(2)设二面角C AF-E的大小为。，求tan。的最小值.解解法一：过E作ENL AC于N,连接EF(1)如图，连接NF. AC,由直
3、棱柱的性质知，底面ABCL侧面AC,又底面 AB6侧面 AC= AC且EN?底面ABC所以ENL侧面AC, NF为EF在侧面A1C内的射影.在 RtACNE, CN= CEos60 = 1.CF CN 1 一则由；得 NF/ AC,又 AG AC,故 NFL ACCC CA 4由三垂线定理知 EF AC(2)如图，连接 AF,过N作NML AF于M连接ME由 知EN1侧面AC,根据三垂线定理得 EML AF所以/ EMt二面角 C-AF- E的平面角，即/ EMN= 0 .设/ FAC= a ,则 0 a 45 .在 RtACNE, EN= EC- sin60 =遮在 RtAAMtN, MN=
4、 AN- sin a = 3sin a,故1加9=需 .又0/2=害.此时F与Ci重合.解法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得A(0,0,0)，蜕2率，2,0),图Q040) , Ai(0,0,4) , E(0 3,0) , F(0,4,1), 于是 CA=(0, 4,4) , EF= (-/3,1,1),则 CA EF=(0 , -4,4)(- y/3,1,1) = 0 4+4 = 0,故 EFAC(2)设 CF=入，(0入W4),平面 AEF的一个法向量为 m (x,V, z),则由得F(0,4 ,入).AE=(木,3,0) , AF= (0,4 ,入)，于是由 rnAE
5、, nART得m- AE= 0,弧 +3y= 0, 4y+ 入 z = 0.取m=(43入，一入，4)又由直三棱柱的性质可取侧面AC的一个法向量为n= (1,0,0)，于是由0为锐角可得cos 02/入 2+4，sin入+161163+3T2由0入4,11 r一得一即 tan入 4故当入=4,即点F与点C重合时,tan 0取得最小值2. (2012 四川)(13 分)如图，在四棱锥 P ABC/，底面是边长为2。3的菱形，/ BAD= 120。，且 PANL平面ABCD PA= 2#,M N分别为PR PD的中点.(1)证明：MM平面ABCD(2)过点A作AQL PC垂足为点 Q,求二面角A
6、MIN- Q的平面角的余弦值.如图，在三棱锥 P-ABC中，/ APB= 90 , / PAB= 60 , AB= BC= CA 平面 PABL平面ABC(1)求直线PC1平面ABC/f成的角的大小；(2)求二面角B- AP- C的大小.分析 本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维 能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题的能力.对于(1),依据直线与平面所成的角的意义，确定相关直线在相应平面内的射影，由此明确所求角的位置，再通过计算求出答案即可；对于 (2),根据二面角的平面角的意义，借助于 三垂线定理，构造出相关的二面角所对应的平面角，再通过计算求
7、出答案.A O DB解 解法一：（1）设AB的中点为D, AD的中点为。连结PO PD CO CD由已知， PAD为等边三角形.所以 POLAD又平面 PABL平面ABC平面 PA的平面 ABC= AD所以POL平面 ABC所以/ OC四直线PCW平面ABO成的角.不妨设 AB= 4,则 PD= 2, CD= 2 OD= 1, P0=木.在 RtOC珅，C0= OD + CD =5.所以，在 RtZxPOC3, tan / OCP=二CO 1313故直线PC与平面ABO成的角的正切值为（2）过D作Da AP于E,连结CE由已知可得，CDL平面PAB根据三垂线定理知，CEL PA所以/ CED为
8、二面角B- AP- C的平面角.由知，DE=小.在 RtACDE, tanCD 2 3/CED=尾 F = 2.故二面角B- AP- C的正切值为2.解法二：（1）设AB的中点为D,彳PQL AB于点Q连结CD因为平面 PABL平面 ABC平面PABH平面ABC= AD所以PCL平面ABC所以PQL CD由 AB= BC= CA 知 CDL AB设E为AC中点，贝U EO/ CQ从而OEL PO OEL AB如图，以O为坐标原点，OB OE OP所在直线分别为 x、V、Z轴建立空间直角坐标系 O xyz.不妨设 P& 2,由已知可得，AB= 4, OA= Od 1, OP=，3, Cd 2小,
9、所以 Q0Q0), A(-1,0,0) ， Q1,2 尊 0), P(0,0 ,小).所以CP= (-1, -2、/3),而OP= (0,0 ,、/3)为平面ABC勺一个法向量.设“为直线PC与平面ABC所成的角，则 sin a| CP OP |0 +0+ 3| 正一 一-Ji6 - /3 4 Icp I op故直线PC与平面AB所成的角的正弦值为半.(2)由(1)有，AP= (1,0 ,4),AC= (2,2 3/3, 0).设平面APC勺一个法向量为 n=(X1, y1, Z1),则r /fnAPn - AP= 0,? LACn AC= 0；X1,y,Z11,0, V3 =0，.X1,y1
10、,Z1,2,2m，()=0.X1 + 3/3 , Z1 = 0,从而 、2X1 + 23 - y1 = 0.取 *1 = 一寸3,则 y1=1, Z1= 1,所以门=(一43, 1,1).设二面角B-AP- C的平面角为3 ,易知3为锐角.而平面ABP勺一个法向量为m (0,1,0),则cos 3 =111_V53+1+15故二面角B AF C的余弦值为3. (2012 山东)(13分)现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次，命中的概率为命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为2,每命中一次得2分，3没有命中得。分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.
11、(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望 EX分析 本题考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识， 考查分类整合思想和运算求解能力.(1)该射手恰好命中一次包括命中甲靶一次且乙靶两次都没有命中，没有命中甲靶且命中 乙靶一次；(2) X的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5 ，根据X取各个值时命中靶的情况分别求出 其概率值，即可得到概率分布列，进而求出数学期望.解(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A, “该射手射击甲靶命中”为事件B, “该射手第一次射击乙靶命中”为事件C, “该射手第二次射击乙靶命中”为事件D,由题意知P(E)
12、3 2=4，Rq = P(D = 3,4 3由于 A= BC D+BCD+B CQ根据事件的独立性和互斥性得p(A) = p(bC d + bcd + b -Cd= P(BCD) +P( BCD) + P( BCD)=P( B) P( C)R D)+P( B)P(C)R D)+R B)R C)RD)736.3=-x4(2)根据题意，X的所有可能取值为0,1,2,345.根据事件的独立性和互斥性得P(X= 0) = R B C D)1 36.P(X= 1) = RBC D) =P(B)P(C)P(D)112,P(X= 2) = RBCD+B CD)=RBCD)+P(B CD)+31宗IN-4 NW、I_1=9，P(X= 3) = R BCD + BD = P( BCD ) + R B_C D)与 iei)+h-i i1=3P(X= 4) = R B CD1-2 2-x - 3 319P(X= 5) = R BCD1I.故X的分布列为X012345111111P36129393
