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1、第5讲：反函数【复习要求】1、 理解反函数的意义，会求一些函数的反函数。2、 经历探索互为反函数的两个函数图像之间关系的过程，掌握利用与的性质解决一些问题【教学重点】反函数的求法，反函数与原函数的关系【知识要点】1、反函数的概念：对于函数，设它的定义域为，值域为，对应法则为，如果对于每一个值，都有唯一的，满足，这样得到的关于的函数叫做的反函数，记作，。2、求反函数的一般步骤：1解出；2互换、；3写出反函数的定义域即原函数的值域。注：求分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。3、 反函数的性质：1互为反函数的两个函数的图象关于直线y=*对称；即：两个互为反函数的图像如果有交点，它们的
2、交点不一定都在直线y*上2具有单调性的函数必有反函数，且他们的单调性一样。但反之不一定成立。3互为反函数的两个函数在它们各自的定义域具有一样的单调性 4一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f(*)=a(*=0)它的反函数是f(*)=0(*=a)这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。假设一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。5函数y=f(*)的定义域是它的反函数的值域；函数yf(*)的值域是它的反函数的定义域6假设y=f(*)(*A)，与(*C)互为反函数，则有() ()7* =f(y)与是同一函数，因为它们的定义域、值域对应一样(都分别是原来函数的值
3、域和定义物)，对应法则一样；8的反函数；的反函数为：；【典型例题】类型1：判断一个函数是否存在反函数例1、“函数在定义域上是单调函数是“函数有反函数的充分不必要条件。例2、判断以下说法是否正确，并说明理由。1奇函数一定有反函数。错，反例：三角函数 2偶函数一定没有反函数。错，反例：f(*)=03原函数与其反函数交点必在直线上。错 反例：例3、判断以下函数是否存在反函数：1 无2 有（3） 无 例4、函数定义域为，值域为有反函数，则方程有解，且的充要条件是满足。类型2：怎样求简单函数的反函数例5、求以下函数的反函数：1 23类型3：互为反函数的两个函数的图像的对称性的应用例6、解决以下有关反函数
4、性质的相关问题：1、假设函数互为反函数，则， 3 。2、函数的反函数的图象关于点 -2，-3 对称。3、函数的值。4、函数的图像与的图像关于直线对称，假设的图像过点，则的值为_；答案：例7、函数的图象关于对称，求的值解：由得，由题知：，例8、假设既在的图象上，又在它反函数图象上，求的值解：既在的图象上，又在它反函数图象上，类型4：怎样求复合函数的反函数例9、，求【解】例10、设，函数的图像与函数的图像关于直线对称，求的值。【答案】-10例11、1函数，求；（2） 函数的图像经过点，函数的图像经过点，试求函数的表达式；【解】1先求，再求，最后求得，；2类型10：有关反函数的综合问题例12、，1求
5、的反函数；2假设不等式，对一切恒成立，求的取值围。解：1 2依题意得：对恒成立 即：对恒成立令，则对恒成立设当时，舍；当时， 得：*例13、，是上的奇函数（1） 求的值；（2） 求的反函数；（3） 对任意的解不等式解1由题知，得，此时，即为奇函数2，得，3，当时，原不等式的解集，当时，原不等式的解集【课后练习】A组1函数的反函数是(D)A BC D 2函数的反函数是(B) A B C D3函数在区间1,2上存在反函数的充分必要条件是(D)A a(-,1 B a2,+) C a1,2 D a(-,12,+4函数的反函数图像是(C)A D CB 5假设函数是函数的反函数，且，则(A)A B C D
6、26函数,假设则实数a的取值围是(C) A B C D 7设函数f(*)的图象关于点(1,2)对称,且存在反函数,f(4)=0,则=-28假设f(*)为一次函数,且,则f(*)=or9假设的反函数为自身,则 a = -210=(*-1)，则=-211函数的反函数是(*R,*2)，求a,b,c的值a=2,b=1,c=-312函数的图象与的图象关于直线y=*对称,求的值提示：法2:由题设知的反函数g(*)，又的反函数为f(*)-1g(*)=f(*)-1B组1 知函数，是的反函数，假设，则_；【答案】-22假设其中，则函数与的图像关于对称【答案】轴3设函数的反函数为，且的图像经过点，则的反函数的图像必过点 A、B、C、D、【答案】C4函数存在反函数，假设过点，则函数恒过点 A、B、C、D、【答案】C5函数是否存在反函数，假设存在，请求出来；假设不存在，请说明理由【答案】略6 求与函数的图象关于直线对称的图象所对应的函数【答案】由可得，即，即所求函数7函数是的反函数，定义：假设对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质；假设函数与互为反函数，则称满足“积性质（1） 判断函数是否满足“1和性质，并说明理由；（2） 求所有满足“2和性质的一次函数；（3） 设函数对任何，满足“积性质，求的表达式【答案】1不满足；2；3
