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1、 1 120xx高考数学快速命中考点12一、选择题1已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为()A.B.C. D.【解析】(4，1)(1,3)(3，4)，与同方向的单位向量为.【答案】A2设a(1，cos )与b(1,2cos )垂直，则cos 2的值等于()A.B.C0D1【解析】ab，1(1)2cos20，即2cos210，故cos 22cos210.【答案】C3设x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则|ab|()A. B. C2 D10【解析】a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，由ac得ac0，即2x40，x2.由bc得1(4)
2、2y0，y2.a(2,1)，b(1，2)ab(3，1)，|ab|.【答案】B4在ABC中，AB2，AC3，1，则BC()A. B. C2 D.【解析】1，且AB2，1|cos(B)，|cos B.在ABC中，|AC|2|AB|2|BC|22|AB|BC|cos B，即94|BC|222()|BC|.【答案】A5设a是已知的平面向量且a0.关于向量a的分解，有如下四个命题：给定向量b，总存在向量c，使abc；给定向量b和c，总存在实数和，使ab c；给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使ab c；给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使ab c.上述命题中的向量b，c和a在同一平面
3、内且两两不共线，则真命题的个数是()A1B2C3D4【解析】显然命题是正确的对于，以a的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量b有交点，这个不一定能满足，是错的，对于命题，若1，|a|2时，与|a|bc|b|c|2矛盾，则不正确【答案】B二、填空题6已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b，若bc0，则t_.【解析】cta(1t)b，且a，b60，cbtab(1t)b2t11cos 60(1t)120，则1t0，t2.【答案】27如图232所示，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_图232【解析】以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴
4、建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(x,2)故(，0)，(x,2)，(，1)，(x，2)(，0)(x,2)，则x，x1.因此(，1)(1，2).【答案】8设e1，e2为单位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于_【解析】根据题意，得2.因为()2，所以024，所以02.故的最大值为2.【答案】2三、解答题9设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若2，且1，求P点的轨迹方程【解】设A(x0,0)(x00)，B(0，y0)(y00)，P(x，y)与Q关于y轴对称
5、，Q(x，y)，由2，即(x，yy0)2(x0x，y)，可得(x，y0)又(x，y)，(x0，y0)(x,3y)1，x23y21(x0，y0)点P的轨迹方程为x23y21(x0，y0)10已知向量a(cos x，sin x)，b(cos ，sin )，且x0，求：(1)ab及|ab|；(2)若f(x)ab2|ab|的最小值为，求正实数的值【解】(1)abcos xcos sin xsin cos 2x.ab(cos xcos ，sin xsin )，|ab|2(cos xcos )2(sin xsin )222(cos xcos sin xsin )22cos 2x4cos2x.x0，cos
6、x0，因此|ab|2cos x.(2)由(1)知f(x)cos 2x4cos x2cos2x4cos x1，f(x)2(cos x)2122，cos x0,1若01，则当cos x1时，f(x)有最小值14，解得与1矛盾综合知，为所求11在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos ，3.(1)求ABC的面积；(2)若c1，求a，sin B的值【解】(1)cos A2cos212()21，而|cos Abc3，bc5.又A(0，)，sin A，ABC的面积SABCbcsin A52.(2)由(1)知bc5，而c1，b5.a2b2c22bccos A521221520，a2.又，sin B.
