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1、 1 1 长春市普通高中高三质量监测（四） 数学文科第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1. 已知集合，则中元素的个数为A. B. C. D. 2. 已知复数满足 ，则 A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.已知直线与平面，下列命题中错误的是A.若 ，则 B. 若 ，则C.若 ，则D. 若 ，则5. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则判断框内可填入的条件是A. B. C. D. 6.
2、祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为A. B. C. D. 7. 函数的部分图象如图所示，则A. B. C. D. 8. 已知等比数列单调递减，满足，则数列的公比A. B. C. D. 9. 函数的大致图像为10. 如图，从高为的气球上测量待建规划铁桥的长，如果测得桥头的俯角是，桥头的俯角是，则桥的长为A. B. C. D. 11. 棱长为的正四面体中，为棱上一点（不含两点），点到平面和平面的距离分别为，则的最小值为A.
3、B. C. D. 12. 为双曲线右支上一点，、分别为双曲线的左顶点和右焦点，且为等边三角形，则双曲线的离心率为A.4 B. C. D. 第卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13.已知，则与的夹角为_14. 等差数列的前项和为，已知，则使取最小值的等于 .15. 已知圆的圆心在直线上，且经过原点和点，则圆的方程为 _.16. 下列说法中正确的有：_.（将你认为正确的命题序号全部填在横线上）电影院调查观
4、众的某一指标，通知“每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈”是系统抽样；推理过程“因为指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”中，小前提是错误的；对命题“正三角形与其内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体与其内切球切于各面中心；在判断两个变量与是否相关时，选择了个不同的模型，它们的相关指数分别为：模型为，模型为，模型为.其中拟合效果最好的是模型；三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.（本小题满分12分）已知函数.（1）利用“五点法”列表，并画出在上的图象；（2）分别是锐角中角的对边.若，求面积的取值范围.18. （本小题满分1
5、2分）某便携式灯具厂的检验室，要检查该厂生产的某一批次产品在使用时的安全性。检查人员从中随机抽取5件，通过对其加以不同的电压（单位：伏特）测得相应电流（单位：安培），数据见下表：（1）试估计如对该批次某件产品加以110伏电压，产生的电流是多少？（2）依据其行业标准，该类产品电阻在18,22内为合格品，电阻的计算方法是电压除以电流现从上述件产品中随机抽件，求这两件产品中至少有一件是合格品的概率（附：回归方程：，参考数据：）19. （本小题满分12分）在四棱锥中，平面，为中点.（1）证明：平面；（2）若三棱锥的体积为，求到平面的距离20（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭
6、圆于两点，的最小值为3，且的周长为8.（1）求椭圆的方程；（2）当直线不垂直于轴时，点关于轴的对称点为，证明直线恒过定点，并求此定点坐标.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）若曲线在点处与直线相切，求的值；（2）若恒成立，求的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修41：几何证明选讲.如图，是圆的直径，弦、的延长线相交于点，垂直的延长线于点.（1）求证：是的角平分线；(2) 求证：.23. （本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程.在极坐标系中，点的坐标是，曲线的方程为.以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴
7、建立平面直角坐标系，斜率为的直线经过点.（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线和曲线相交于两点，求的值.24. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲.已知函数，不等式对恒成立.(1)求的取值范围；(2) 记的最大值为，若正实数满足，求证：.长春市普通高中高三质量监测（四）数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1. C2. B3. A 4. D5. C6. C7. B8. B9. C 10. A 11. D12. A简答与提示：1. 【试题解析】C 由题意可知，所以. 故选C.2. 【试题解析】B复数,则. 故选B.3. 【试
8、题解析】A“”等价于“”，“”等价于“”，故选A.4. 【试题解析】DD选项，若，则或，所以D错误. 故选D.5. 【试题解析】C 由程序框图可知，要输出，需时条件成立，当时条件不成立，从而. 故选C.6. 【试题解析】C由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，图示几何体是一个正方体去掉一个半圆柱，从而其体积为. 故选C.7. 【试题解析】B由题意可知，进而，从而. 故选B.8. 【试题解析】B由，且单调递减，可知，可求得（舍掉）. 故选B. 9. 【试题解析】C由题意，定义域为，排除A；当时，排除B；当时，单调递增，排除D. 故选C.10. 【试题解析】A设气球在地面
9、上的射影点为，在中，在中，. 故选A.11. 【试题解析】D 连结，由正四面体棱长为1，有，由于，有，由可得，所以. 故选D.12. 【试题解析】A 由题意可知，设双曲线左焦点为，由为等边三角形，所以，从而，在中，由余弦定理得，解得或（舍）. 故选A.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 14. 15. 16. 简答与提示：13. 【试题解析】由得，所以，与的夹角为. 14. 【试题解析】 由题意可知，故数列是递增数列，所以，所以使取最小值的.15. 【试题解析】由题意可知，该圆心在原点和点的中垂线上，又在直线上，因此圆心为，半径为，因此圆的方程为.16. 【试题解析】由
10、题意可知，是系统抽样，正确；推理过程是大前提错误，而不是小前提，错误；满足合情推理，因此正确；根据相关指数的定义可知，相关指数越接近于1，模型的拟合效果越好，因此正确. 故答案为.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17. (本小题满分12分)【试题解析】解：(1) 将函数化简成为，根据列表可知函数图像如图所示(6分)(2) 在中，可知，由正弦定理可知，即，则，其中，因此的取值范围是. (12分)18. (本小题满分12分)【试题解析】(1)由题意可得，所以回归直线，故当电压加为110伏时，估计电流为5.06安培 (6分)(2)经计算，产品编号为的是不合格品，其余为合格品
11、，从中随机抽2件共有如下10种情况：，其中至少有一件是合格品有9种情况，故所求事件的概率为.(12分)19. (本小题满分12分)【试题解析】解：取的中点为，连结(1) 是的中点，且，四边形为平行四边形，又 平面，平面所以平面 (6分)(2)是的中点，所以，平面， 又设点到平面的距离为，则，故到平面的距离为 (12分)20. (本小题满分12分)【试题解析】解：(1) 因为是过焦点的弦，所以当轴时，最小，且最小值为，由题意可知，再由椭圆定义知，的周长为，所以，所以椭圆的方程为 (4分)(2)设方程为，则，化简得所以，则的方程为化简有，将代入可得，所以直线恒过定点 (12分)21. (本小题满分
12、12分)【试题解析】解：(1) (4分)(2)当时，在上单调递增，且值域为；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，上单调递增当时，不可能恒成立；当时，成立；当时，在处取得最小值，则只需即，所以，解得，所以综上所述： (12分)22. (本小题满分10分)【试题解析】解(1)AB是圆O的直径，,即 又MN垂直BA的延长线于点N，即M、N、A、D四点共圆， 由于，所以所以是的角分线(5分)(2) M、N、A、D四点共圆， B、C、A、D四点共圆， +有 B、C、M、N四点共圆，所以所以 (10分)23. (本小题满分10分)【试题解析】解(1)由曲线的极坐标方程可得，因此曲线的直角坐标方程为点的直角坐标为，直线的倾斜角为，所以直线的参数方程为为参数. (5分)(2) 将为参数代入，有，设，对应参数分别为，有，根据直线参数方程的几何意义有，=. (10分)24. (本小题满分10分)【试题解析】(
