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1、不等式的证明方法不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。注意的变式应用。常用 (其中)来解决有关根式不等式的问题。一、比较法比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。1、已知a,b,c均为正数，求证： 证明：a,b均为正数， 同理，三式相加，可得二、综合法综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。2、a、b、，求证：证：3、设、是互不相等的正数，求证：
2、证： 同理： 4、 知a,b,c，求证: 证明： 即，两边开平方得同理可得三式相加，得5、且，证：。证：6、已知策略:由于证明：。三、分析法分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。7、已知、为正数，求证：证：要证：只需证：即： 成立 原不等式成立8、且，求证。证：即： 即原命题成立四、换元法换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。9、，求证：。证明：令 左 10、，求证：证：由设， 11、已知abc,求证：证明：ab0, bc0, ac0 可设ab=x, bc=y (x, y0) 则
3、ac= x + y, 原不等式转化为证明即证，即证 原不等式成立（当仅x=y当“=”成立）12、已知1xy2，求证：xxyy3证明：1xy2，可设x = rcos，y = rsin，其中1r2，0xxyy= rrsin= r(1sin)，1sin，rr(1sin)r，而r，r3 xxyy313、已知x2xyy2，求证：| xy |证明：x2xyy= (xy)y，可设xy = rcos，y = rsin，其中0r，0| xy | =| xy2y | = | rcos2rsin| = r|sin(ractan)|14、解不等式解：因为=6，故可令 = sin， cos，0，则原不等式化为 sin
4、cos 所以 sin + cos由0，知+ cos0，将上式两边平方并整理，得48 cos2+4 cos230解得0cos所以x6cos21，且x1，故原不等式的解集是x|-1x . 15、1x证明：1x0，1x1，故可设x = cos，其中0则x =cos= sincos=sin()，1sin()，即1x五、增量代换法在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如abc)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简16、已知a，bR，且ab = 1，求证：(a2)(b2)证明：a，bR，且ab = 1，设
5、a =t，b=t， (tR)则(a2)(b2)= (t2)(t2)= (t)(t)= 2t(a2)(b2)六、利用“1”的代换型17、策略：做“1”的代换。证明： .七、反证法反证法的思路是“假设矛盾肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。18、若p0，q0，pq= 2，求证：pq2证明：反证法假设pq2，则(pq)8，即pq3pq (pq)8，pq= 2，pq (pq)2故pq (pq)2 = pq= (pq)( ppqq)，又p0，q0 pq0，pqppqq，即(pq) 0，矛盾故假设pq2不成立，pq219、已知、（0，1），求证：，不能
6、均大于。证明：假设，均大于 ，均为正 同理 不正确 假设不成立 原命题正确20、已知a,b,c（0，1），求证：（1a）b, （1b）c, （1c）a 不能同时大于。证明：假设三式同时大于0a1 1a0 21、，求证：、均为正数。证明：反证法：假设、不均为正数 又 、两负一正不妨设， 又 同乘以 即，与已知矛盾 假设不成立 、均为正数八、放缩法放缩时常用的方法有：1去或加上一些项2分子或分母放大（或缩小）3用函数单调性放缩4用已知不等式放缩22、已知a、b、c、d都是正数，求证：12证明：，将上述四个同向不等式两边分别相加，得：1223、，求证：。证明： 判别式法24、A、B、C为的内角，、为
7、任意实数，求证：。证明：构造函数，判别式法令 为开口向上的抛物线 无论、为何值， 命题真九、构造函数法构造函数法证明不等式24 设0a、b、c2，求证：4abcabc2ab2bc2ca证明：视a为自变量，构造一次函数= 4abcabc2ab2bc2ca = (bc2b2c4)a(bc2bc)，由0a2，知表示一条线段又= bc2bc = (bc)0，= bc4b4c8 = (b2)(c2)0，可见上述线段在横轴及其上方，0，即4abcabc2ab2bc2ca构造向量法证明不等式 根据已知条件与欲证不等式结构，将其转化为向量形式，利用向量数量积及不等式关系|，就能避免复杂的凑配技巧，使解题过程简
8、化应用这一方法证明一些具有和积结构的代数不等式，思路清晰，易于掌握25、 设a、bR，且ab =1，求证：(a2)(b2)证明：构造向量= (a2，b2)，= (1，1)设和的夹角为，其中0| =，| =，= |cos=cos；yxxy = 02ABDCO另一方面，= (a2)1(b2)1 = ab4 = 5，而0|cos|1，所以5，从而(a2)(b2) 构造解析几何模型证明不等式 如果不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系，则可根据已知式的结构挖掘出它的几何背景，通过构造解析几何模型，化数为形，利用数学模型的直观性，将不等式表达的抽象数量关系转化为图形加以解决 26、设a0，b0，ab
9、= 1，求证：2证明：所证不等式变形为：2这可认为是点A()到直线 xy = 0的距离但因()()= 4，故点A在圆xy= 4 (x0，y0)上如图所示，ADBC，半径AOAD，即有：2，所以21实数绝对值的定义: |a|=这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。 2最简单的含绝对值符号的不等式的解。 若a0时，则 |x|a -axa xa。 注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。 3常用的同解变形 |f(x)|g(x) -g(x)f(x)g(x) f(x)g(x)；|f(x)|g(x)| f2(x)g2(x)。
10、 4三角形不等式: |a|-|b|ab|a|+|b|。 高中数学复习专题讲座关于不等式证明的常用方法高考要求 不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合 高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本节着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力 重难点归纳 1 不等式证明常用的方法有 比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法 (1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述 如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证 (2)
11、综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野 2 不等式证明还有一些常用的方法 换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等 换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性 放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查 有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法 凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法 证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步
12、骤、技巧和语言特点 典型题例示范讲解 例1证明不等式(nN*)命题意图 本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力 知识依托 本题是一个与自然数n有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等 错解分析 此题易出现下列放缩错误 这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的 技巧与方法 本题证法一采用数学归纳法从n=k到n=k+1的过渡采用了放缩法 证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标 而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心，发人深省 证法一 (1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立 (2)假设n=k(k1)时，不等式成立，即1+2，当n=k+1时，不等式成立 综合(1)、(2)得 当nN*时，都有1+2 另从k到k+1时的证明还有下列证法 证法二 对任意kN*，都有 证法三 设f(n)= 那么对任意kN* 都有 f(k+1)f(k)因此，对任意nN* 都有f(n)f(n1)f(1)=10，例2求使a(x0，y0)恒成立的a的最小值 命题意图 本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力 知识依托 该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来，等价转化的
