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1、高三数学专项训练:立体几何解答题(二)1如图,三棱柱中,平面,, 点在线段上,且,()求证:直线与平面不平行;()设平面与平面所成的锐二面角为,若,求的长;()在()的条件下,设平面平面,求直线与所成的角的余弦值2三棱锥中, 是的中点,(I)求证:;(II)若,且二面角为,求与面所成角的正弦值。3如图,已知四棱锥的底面为菱形,且,.(I)求证:平面平面;(II)求二面角的余弦值4已知斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形,侧面ABB1A1是菱形,且, M是A1B1的中点,(1)求证:平面ABC;(2)求二面角A1BB1C的余弦值。5在四棱锥中,平面,底面为矩形,.ABQDCP()当时,求证
2、:;()若边上有且只有一个点,使得,求此时二面角的余弦值.6如图,直三棱柱中,分别为的中点,二面角的大小为. ()证明:;()求与平面所成的角的大小. 7如图,在矩形ABCD中AB=1, BC=, 点P为矩形ABCD所在平面外一点,PA平面ABCD,点E为PA的中点。()求证:PC/平面BED;()求直线BD与平面PAB所成的角的大小.8如图,在正三棱柱中,是的中点,是线段上的动点,且(1)若,求证:;(2)求二面角的余弦值;(3) 若直线与平面所成角的大小为,求的最大值.9(本小题满分12分)如图三棱柱中,底面侧面为等边三角形,且AB=BC,三棱锥的体积为(I)求证:;(II)求直线与平面B
3、AA1所成角的正弦值.10 如图,在多面体ABCDEF中,ABCD为菱形,ABC=60,EC面ABCD,FA面ABCD,G为BF的中点,若EG/面ABCD(I)求证:EG面ABF()若AF=AB,求二面角BEFD的余弦值11如图,四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ABAD,点E在线段AD上,CEAB。()求证:CE平面PAD;()若PAAB1,AD3,且CD与平面PAD所成的角为45,求二面角BPEA的正切值。12如图,一张平行四边形的硬纸片中,。沿它的对角线把折起,使点到达平面外点的位置。()折起的过程中,判断平面与平面的位置关系,并给出证明;()当为等腰三角形,求此时二面角的大小。13
4、如图,已知正三棱柱的各条棱长都为a,P为上的点。(1)试确定的值,使得PCAB; (2)若,求二面角PACB的大小; (3)在(2)的条件下,求到平面PAC的距离。ABC111ACB14如图,斜三棱柱,已知侧面与底面ABC垂直且BCA =90,=2,若二面角为30. ()证明; ()求与平面所成角的正切值;()在平面内找一点P,使三棱锥为正三棱锥,并求P到平面距离.15在四棱锥PABCD中,ABCACD90,BACCAD60,PA平面ABCD,E为PD的中点,PA2AB2()求四棱锥PABCD的体积V;()若F为PC的中点,求证PC平面AEF;()求证CE平面PAB16如图,在中,为边上高,沿
5、将翻折,使得,得到几何体。(1)求证:;(2)求与平面成角的正切值。17如图,正四棱柱中,点在上(1)证明:平面;(2)求二面角的大小18如图,三棱锥中,底面,点、分别是、的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值。19(本小题满分14分)如图,已知O所在的平面,是O的直径,APCBOEFC是O上一点,且,与O所在的平面成角,是中点F为PB中点() 求证: ;() 求证:;()求三棱锥B-PAC的体积20如图,平面PAD平面ABCD,ABCD为正力形,PAD=900,且PA=AD=2,E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点。(1)求证:PB平面EFG;(2)求异面直线EG与BD所成的
6、角;21如图,圆锥中,、为底面圆的两条直径,且,为的中点.(1)求圆锥的表面积; (2)求异面直线与所成角的正切值.PDCOBAS23已知菱形ABCD的边长为2,对角线与交于点,且,M为BC的中点.将此菱形沿对角线BD折成二面角.(I)求证:面 面;(II)若二面角为时,求直线 与面所成角的余弦值.24如图,已知三棱锥ABPC中,APPC, ACBC,M为AB中点,D为PB中点, 且PMB为正三角形。 ()求证:DM平面APC; ()若BC=4,AB=20,求三棱锥DBCM的体积。25.如图, 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为6, 动点M在棱A1B1上. (1) 当M为A1B1的中点时,
7、 求CM与平面DC1所成角的正弦值; (2) 当A1MA1B1时, 求点C到平面D1DM的距离.AB1C1BCA1ED26.如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都是2,D是侧棱CC1上任意一点,E是A1B1的中点.(1)求证:A1B1/平面ABD.(2)求证:(3)求三棱锥C-ABE的体积.27如图,已知平行四边形和矩形所在的平面互相垂直,是线段的中点.(1)求证:;(2)求二面角的大小;(3)设点为一动点,若点从出发,沿棱按照的路线运动到点,求这一过程中形成的三棱锥的体积的最小值.28如图,正方体的棱长为2,E为AB的中点()求证:()求异面直线BD1与CE所成角的余
8、弦值;()求点B到平面的距离.29已知:如图,长方体ABCD中,AB=BC=4,E为的中点,为下底面正方形的中心.求:(I)二面角CAB的正切值;(II)异面直线AB与所成角的正切值;(III)三棱锥ABE的体积.30如图,三棱锥PABC中,PC平面ABC,PCAC2,ABBC,D是PB上一点,且CD平面PAB。 (1)求证:AB平面PCB; (2)求二面角CPAB的大小的余弦值。31如图所示,平面ABC,CE/PA,PA=2CE=2。 (1)求证:平面平面APB; (2)求二面角ABEP的正弦值。32已知ABCD是矩形,E、F分别是线段AB、BC的中点,面ABCD. (1)第19题图CDBA
9、PEF证明:PFFD; (2)在PA上找一点G,使得EG平面PFD.33如图,在长方体中,点在棱的延长线上,且BEADC() 求证:/平面;() 求证:平面平面;()求四面体的体积34如图,在四棱锥PABCD中,侧面PAD是正三角形,且垂直于底面ABCD,底面ABCD是边长为2的菱形,BAD=60,M为PC上一点,且PA/平面BDM, (1)求证:M为PC的中点; (2)求证:面ADM面PBC。35.如图:已知正方体ABCDA1B1C1D1,过BD1的平面分别交棱AA1和棱CC1于E、F两点。(1)求证:A1E=CF; (2)若E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点,求证:平面EBFD1平面BB
10、1D1。36如图所示,已知矩形ABCD中,AB=,AD=1,将ABD沿BD折起,使点A在平面BCD内的射影落在DC上 (1)求证:平面ADC平面BCD; (2)求点C到平面ABD的距离; (3)若E为BD中点,求二面角BADE的大小。37已知在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,E、F分别是AB、PD的中点。 (1)求证:AF/平面PEC; (2)求PC与平面ABCD所成的角的大小; (3)求二面角PECD的大小。38如图,在正方体中,分别是的中点 (1)证明; (2)求与所成的角;(3)证明面面;(4)的体积39如图,已知是正三棱柱(底面为正三角形,侧棱垂直于底面),它的底面边长和侧棱长都是为侧棱的中点,为底面一边的中点 (1)求异面直线与所成的角; (2)求证:;(3)求直线到平面的距离ABoCDDDABC40如图,平行六面体ABCDABCD中,AC2,BCAAAC2,ABC90,点O是点A在底面ABCD上的射影,且点O恰好落在AC上.(1)求侧棱AA与底面ABCD所成角的大小;(2)求侧面AADD底面ABCD所成二面角的正切值;(3)求四棱锥CAADD的体积.41如图,在四棱锥中,底面是菱形,且,为的中点(1)求四棱锥的体积;(2)证明:平面;(3)侧棱上是否存在点,使得平面?并证明你的结论