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1、.2013年春 西南大学数学分析选讲作业及答案(共5次,已整理)第一次作业【主观题】【论述题】一、判断下列命题的正误1. 设为非空数集。若有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确 (正确)2. 收敛数列必有界. (正确)3. 设数列与都发散，则数列一定发散. (错误)4若为无上界的数集,则中存在一递增数列趋于正无穷.(正确)5若一数列收敛，则该数列的任何子列都收敛. (正确)二、选择题1设, 则 ( A ) .A ； B ； C ； D 2“对任意给定的，总存在正整数，当时，恒有”是数列收敛于的（ A ）.A 充分必要条件； B 充分条件但非必要条件； C 必要条件但非充分条件； D 既非充
2、分又非必要条件3若数列有极限,则在的邻域之外，数列中的点（ B ）A 必不存在 ； B 至多只有有限多个；C 必定有无穷多个 ； D 可以有有限个，也可以有无限多个 4数列收敛，数列发散，则数列 （ D ）A 收敛； B 发散； C 是无穷大； D 可能收敛也可能发散5设，则 （ C ）A 数列收敛； B ；C 数列可能收敛，也可能发散； D ； 6若函数在点极限存在，则（ C ）A 在的函数值必存在且等于极限值；B 在的函数值必存在，但不一定等于极限值；C 在的函数值可以不存在；D 如果存在的话必等于函数值7下列极限正确的是（ D ）A ； B ； C ； D 8 （ D ）A 0； B 1
3、 ； C ； D 不存在三、计算题1求极限 .解: 2求极限 . 解：.3 求极限 解：由于 又 由迫敛性定理 4考察函数的连续性.若有间断点指出其类型.解： 当时，有；同理当时，有.而，所以。所以是的跳跃间断点. 四、证明题设，且. 证明：存在正整数，使得当时，有.证 由，有. 因为，由保号性定理，存在，使得当时有。 又因为，所以，又存在，使得当时有. 于是取，当时，有【客观题】【判断题】狄利克雷函数D(x)是有最小正周期的周期函数错【选择题】设数列An收敛，数列Bn发散，则数列AnBnD【判断题】收敛数列必有界对【判断题】两个（相同类型的）无穷小量的和一定是无穷小量对【判断题】若函数在某点
4、无定义，则在该点的极限不存在错【选择题】设 f,g 为区间 (a,b)上的递增函数，则 minf(x),g(x)是(a,b) 上的A【选择题】设f在a,b上无界，且f(x)不等于0,则1/f(x)在a,b上D【判断题】闭区间上的连续函数是一致连续的对【判断题】两个收敛数列的和不一定收敛错【判断题】有上界的非空数集必有上确界对【判断题】两个无穷小量的商一定是无穷小量错【选择题】若函数f在(a,b)的任一闭区间上连续，则fB【选择题】一个数列An的任一子列都收敛是数列An收敛的C【判断题】若f,g在区间I上一致连续，则fg在I上也一致连续。错【判断题】区间上的连续函数必有最大值错【判断题】两个收敛
5、数列的商不一定收敛对【选择题】设函数f(x)在（a-c,a+c）上单调，则f(x)在a处的左、右极限B【选择题】定义域为a,b,值域为（-1，1）的连续函数B【选择题】y=f(x)在c处可导是y=f(x)在点(c，f(c)处存在切线的A【判断题】最大值若存在必是上确界对【选择题】设f,g在（-a,a)上都是奇函数，则g(f(x)与f(g(x)A【判断题】两个无穷大量的和一定是无穷大量错【选择题】函数f在c处存在左、右导数，则f在c点B【判断题】若函数在某点可导，则在该点连续对【判断题】若f(x)在a,b上有定义，且f(a)f(b)0,则在(a,b)内至少存在一点c,使得f(c)=0错第二次作业
6、【主观题】【论述题】一、判断下列命题的正误1. 若函数在某点无定义，则在该点的极限可能存在. （错误）2. 若在上连续，则在上一致连续（错误）3. 若在上有定义，且,则在内至少存在一点,使得. （错误）4. 初等函数在其定义区间上连续. （正确） 5闭区间的全体聚点的集合是本身. （正确）二、选择题1下面哪些叙述与数列极限的定义等价（ A ）A ，；B 对无穷多个，；C ，有无穷多个，；D ，有的无穷多项落在区间之内2任意给定，总存在，当时，则（ A ）A ； B ； C ； D 3设为定数.若对任给的正数，总存在，当时，则（ D ）.A ； B ； C ； D 4极限（ B ）A ； B ；
7、 C ； D 15（ C ）A 1 ； B 2 ； C ； D 6定义域为，值域为的连续函数 （ C ）A 存在； B 可能存在； C 不存在； D 存在且唯一7设 在处连续， 则（ D ）A 1 ； B ； C ； D 8方程至少有一个根的区间是（ D ）A ； B ； C ； D 三、计算题1求极限 解： 2 求极限 解：因为又，所以由迫敛性定理，3 求极限 解：4 求极限 解： 四、证明题设在上连续，且. 证明：存在使得.证： 令,则在上连续，又 用零点存在定理，存在一点，使得， 即【客观题】【判断题】若f在区间I上连续，则f在I上存在原函数。对【判断题】不存在仅在一点可导，而在该点的任
8、一空心邻域内皆无连续点的函数。错【判断题】若函数在某点的左右导数都存在，则在该点可导错【判断题】若函数在某点可导，则在该点的左右导数都存在对【判断题】可导的单调函数，其导函数仍是单调函数。错【判断题】闭区间上的可积函数是有界的对【判断题】若f在实数集R上是偶函数，则x=0是f的极值点。错【判断题】可导的偶函数,其导函数必是奇函数对【判断题】若函数在某点的左右导数都存在，则在该点连续。对【判断题】若f、g在a,b上的可积，则fg在a,b上也可积对【判断题】若f是a,b上的单调函数，则f在a,b上可积。对【判断题】若函数f在区间I上单调,则f在I上的任一间断点必是第一类间断点对【判断题】若两个函数
9、的导数处处相等,则这两个必相等错【判断题】若函数f在数集D上的导函数处处为零，则f在数集D上恒为常数。错【判断题】可导的周期函数,其导函数必是周期函数对【判断题】任一实系数奇次方程至少有一个实根对【判断题】若f,g均为区间I上的凸函数，则f+g也为I上的凸函数。对【判断题】若函数f的导函数在区间I上有界，则f在I上一致连续。对【判断题】实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点对第三次作业【主观题】【论述题】一、判断下列命题的正误1. 若函数在点处的左、右导数都存在，则在处必连续.（正确）2. 若在处可导，则在处可微（正确）3. 若两个函数在区间上的导数处处相等,则这两个函数必相等.（错误）4.
10、若是可导的偶函数，则.（正确） 5若是的导函数的间断点，则是的第二类间断点.（正确）二、选择题1设是奇函数，且， 则 （ A ）A 在的切线平行于轴； B 是的极大值点；C 是的极小值点； D 在的切线不平行于轴2设 ，其中在处连续但不可导，则（ A ）A ； B ； C ； D 不存在3设可导，则 （ B ）A ； B ；C ； D 4设函数可导且下列极限均存在，则不成立的是（ B ）A ； B ；C ； D 5设，且 ， 则（ C ）A ； B ； C ； D 16. 已知 ，则=（ C ）A ； B ； C ； D 7下列结论中正确的有（ D ）A 如果点是函数的极值点，则有；B 如果，
11、则点必是函数的极值点；C 函数在区间内的极大值一定大于极小值；D 如果点是函数的极值点，且存在， 则必有8设可导，则（ B ）A ； B ； C ； D 三、计算题1已知，求. 解：.2设，求.3设，试确定，的值，使在可导.解：要使在可导，在必连续，于是必左连续.，从而.在的右导数.左导数为，只要，则在的左导数与右导数相等，从而可导.这时4用洛比塔法则求极限 . 解：. 四、证明题证明： 当 时， . 证 设，则在连续，且.因为，故在严格单调递增，又因在连续，于是，从而，.【客观题】【判断题】处处间断的函数列不可能一致收敛于一个处处连续的函数。错【判断题】条件收敛级数一定含有无穷多个不同符号的项。对【判断题】设f是(a,b)内可导的凸函数,则其导函数在(a,b)内递增对【判断题】闭区间a,b的所有聚点的集合是a,b对【判断题】收敛级数任意加括号后仍收敛对【判断题】在级数的前面加上或去掉有限项不影响级数的收敛性对【判断题】幂级数的收敛区间必然是闭区间错【判断题】实数集R上的连续周期函数必有最大值和最小值对
