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1、圆锥曲线中的“四心”云南省会泽县茚旺高级中学杨顺武摘要：通过对三角形四心与圆锥曲线的有机结合，达到训练学生的思 维，提升学生的解题能力。同时起到培养学生的说思路、练本领、强 素质的作用.关键词：思维流程 内心 外心 重心 垂心 解题能力正文：圆锥曲线是每年高考的重点内容之一，从近几年的命题风格看，既注 重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征，又体现传统内容的横向联系和 新增内容的纵向交汇，而三角形在圆锥曲线中更是如鱼得水，面积、弦长、最值 等成为研究的常规问题。“四心”走进圆锥曲线，让我们更是耳目一新。因此， 在高考数学第二轮复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合 问题，快
2、速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，从而战胜高考.例1、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(-2,0)、(3、一 -B(2,0)、C 1,-二点.k 2 7(I) 求椭圆E的方程：(II) 若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F (-1,0), H (1,0)，当DFH内切圆的面积最大时，求 DFH内心的坐标；思维流程：(I) 由椭圆经过A、B、C三点 设方程为mx2 + ny2 = 1 |得到m, n的方程-解出m, n(II) 由ADFH内切圆面积最大一 转化为ADFH面积最大一 转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大一 D为椭圆短轴端点ADFH面积最大值为t-*
3、S =上x周长x rADFH2内切圆( 用)得出D点坐标为。，=-I 3 J解题过程：(I)设椭圆方程为 mx2 + ny2 =1 (m 0,n 0)3 .将A(-2,0)、B(2,0)、C(1,-)代入椭圆E的方程，得 24m = 1,1 y - x + m 消元 3 x 2 + 4mx + 2m 2 2 - 0 x 2 + 2 y 2 - 2两根之和，得出关于, 两根之积* MP FQ - 0* m的方程解题过程：x 2 y 2(I)如图建系，设椭圆方程为一+二-1(a b 0),则c -1a 2 b 2又AF - FB 1 即(a + c) - (a c) 1 a2 c2解出m. a 2
4、 = 2故椭圆方程为或+ y 2 = 1(II)假设存在直线l交椭圆于P, Q两点，且g恰为APQM的垂心，则设P(气,y,Q(%,y2)，： M(0,1),F(1,0)，故kpQ = 1,y = x + m于是设直线l为y=x + m，由得x 2 + 2 y 2 = 23x2 + 4mx + 2m 2 - 2 = 0,/ MP - FQ - 0 = x (x -1) + y (y -1)又 y = x + m(i = 1,2)1221i i得 x (x -1) + (x + m)(x + m -1) = 0 即2xx-(x x )(m-1)+m2 -m = 0 由韦达定理得-2m 2 - 2
5、 4m /2 (m -1) + m 2 - m - 03 3解得m -4或m-1 (舍) 经检验m -4符合条件.点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为 零.例3、在椭圆C：3号T中,F1、F2分别为椭圆C的左右两个焦点，P为椭圆C上的且在第一象限内的一点，APF1 F2的重心为6，内心为I.(I)求证：IG = XFF ；1 2(II)已知A为椭圆C上的左顶点直线/过右焦点F2与椭圆C交于M,N两点，上，求直线i的方程.2若AM, AN的斜率k , k满足k + k1212思维流程:(I)由已知得 F (1,0), F (1,0)设 P(x , y )1200
6、SPF1F2伊 S=2( PF + PF + F F )rPF1F内切圆S apf1f2 = 3r内切圆=y 0I的纵坐标为鸟3IG FF1 2IG 以 FF1 21的方程为y = k (x 1)(II)1由k 1 + k 2 = 2，可知l的斜率一定存在且不为0，设为k8 k 2x + x =123 + 4 k 24 k 2 12x1x 2 = 3 + 4 k 2得(3 + 4k 2) x 2 8k 2 x + 4k 2 12 = 0利用k 1 s =2 一 1得*的方程11解出k解题过程：(I)设 P (x , y )，重心 G (x, y)，由已知可知 F (1,0)，F (1,0) 0
7、012则 x = %+ (1) +13y = *+ + 3由 S= 1 FF lly | = y件22 1 2 o0又s= !(|PF | + PF | + FF |)rAPFF2 212 12 内切圆S apf1f2 = 3内切圆=y 0内心I的纵坐标为3:.IG F1 F2即 IG = X F1F(II)若直线l斜率不存在，显然k1 + k2 = 0不合题意；则直线l的斜率存在.设直线l为y = k(尤-1)，直线l和椭交于M(x , y )，N(x , y )。 1122将 y = k(x -1)代入3x2 + 4y2 = 12中得到：(3 + 4k 2)x 2 - 8k 2 x + 4
8、k 2 -12 = 0依题意：A = 9k2 - 9 0得k1或k 1.故所求直线MN的方程为：y = 2(x -1).点石成金：重心的特点为坐标f气+ x2 + x3 y1+ y2 + y3 I 33)例4、已知双曲线C以椭圆竺+ E _1的焦点为顶点，以椭圆的左右顶点为 43焦点.(I) 求双曲线C的方程；(II) 若F , F为双曲线C的左右焦点，P为双曲线C上任意一点，M为APFF121 2的外心，且/FPF = 60，求点M的坐标.思维流程：(I)th (I)M是APF1F2的外心由已知易得双曲线中a = 1,c = 2,b = T3写出双曲线的方程M 在 y 轴上，且 /FMF =
9、 2/FPF1212在RtAMFO 中，FO = 2,/MFO = 3001/FMF = 1200, /MFF = 300121 2M (0, 士 孕解题过程: (I)由已知可知，双曲线的a = 1,b =*,c = 2，则双曲线的方程为x2 -号=1(II)因为M为外心，所以MF = |MF|，则点M在线段F1F2的垂直平分线上即在y轴上又同弓瓜上的圆心角是圆周角的2倍，./FMF = 2/FPF 1212则 /F MF = 1200, /MF F = 300 121 2在RtAMFO 中，|FO| = 2,/MFO = 300则|MO| =矣31| 1 |13i即 M (0,士 233).
10、点石成金：外心的特点为到三个顶点的距离相等或说是三边的垂直平分线的交 点能力提升：1、椭圆：工+ * = 1(ab 0)求椭圆的焦点三角形内心的轨迹方程. a 2 b 2解：如图(1)，设点P(x0,y。)，内心I为(x,y)，焦点F1(-c ,0)、F (c ,0)PF1PF2过内心I作ID IE亦垂直FF、Fp、PF：于点D E、F.图(1)=r ，贝。r 一 r = 2ex .2120.点I是 F1F2P的内心，点D、E、F是内切圆的切点.由切线长定理，得方程组：PE + FE =1PF + |F F = rFD + F D = 2c1结合 r - r2 = 2ex0，解得：FD =1=
11、c + ex 而 FD = c + x，x = ex，既 x X又. FF P 面积 S = cy I，S = L(|FF 1 + PF 1 + IPF |)|y| = (a + c)|y| 1 20 I2121F 1 c|y | = (a + c)y|，既 |y | = ac|y| .c将代入号+苔=1(a b 0)，得三+ = 1.(a + c)2可知，椭圆三+三=1(a b 0)焦点三角形内心的轨迹是一个椭圆，它的离心率是2、椭圆：三+苔=1(a b 0)求椭圆的焦点三角形垂心的轨迹方程;解：如图(2)，设点P(x0 , y，垂心H为(x, y)焦八、点 F (-c ,0)、F(c ,0)图(2)则 FH = (x +1(c - x0, 一*)=.c
