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1、 ;二次函数知识点1、二次函数定义：一般地，如果是常数，那么叫 做的二次函数.2、二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：（2）顶点式：（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。3、二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴 的抛物线.4、二次函数用配方法可化成：的形式，其中.5、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；.6、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 的符号决定抛物线的开口方向： 当时，开口向上； 当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于轴（或重合）的直
2、线记作.特别地，轴记作直线 .7、顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8、求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：，顶点是，对称轴是直线. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9、抛物线中，的作用 （1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
3、（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线，故： 时，对称轴为轴； （即、同号）时，对称轴在轴左侧； （即、异号）时，对称轴在轴右侧. （3）的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，抛物线与轴有且只有一个交点（0，）： ，抛物线经过原点; ,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .10、几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下（轴）（0,0）（轴）(0, )(,0)(,)()11、用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通
4、常选择一般式. （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式： .12、直线与抛物线的交点 （1）轴与抛物线得交点为(0, ). （2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).（3）抛物线与轴的交点 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点抛物线与轴相交； 有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； 没有交点抛物线与轴相离. （4）平行于轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交
5、点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根. （5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点. （6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故 【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例1 （1）二次函数的图像如图1，则点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图2所示，则下列结论：a、b同号；当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0；当y=-2时，x
6、的值只能取0.其中正确的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个 (1) (2)【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键。例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1x12，与y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方下列结论：abO；4a+cO，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D4个 答案：D会用待定系数法求二次函数解析式例3、已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(
7、2，1) C(2，3) D(3，2) 答案：C例4、如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2（1）写出y与x的关系式；（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例5、已知抛物线y=x2+x-（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系例6、已知：二次函数y=ax2-(
8、b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于，两点，交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角MCOACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由(1)解：如图抛物线交x轴于点A(x1，0)，B(x2，O)，则x1x2=30，又x1O，x1O，30A=OB，x2=-3x1 x1x2=-3x12=-3x12=1. x10，x1=-1x2=3 点A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3 二次函数的解析式为y-2x2-4x-6(2)存在点M使MC0ACO(2)解：点A关于y轴的对称点
9、A(1，O)，直线A，C解析式为y=6x-6直线AC与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)符合题意的x的范围为-1x0或Ox5当点M的横坐标满足-1xO或OxACO例7、“已知函数的图象经过点A（c，2），,求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。解答 （1）根据的图象经过点A（c，2），图象的对称轴是x=3，得 解得所以所求二次函
10、数解析式为图象如图所示。（2）在解析式中令y=0，得，解得所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是。令x=3代入解析式，得所以抛物线的顶点坐标为所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等。函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。用二次函数解决最值问题例1、已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=
11、y，则矩形PNDM的面积S=xy（2x4），易知CN=4-x，EM=4-y，且有，即， ，S= xy=（ 2x4） 此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，当x5时，函数值是随x的增大而增大，对2x4来说，当x=4时，S有最大值，S最大=。例2、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x（元）152030y（件）252010 若日销售量y是销售价x的一次函数（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【解析】（1）设此一次函数表达式为y=k
12、x+b则 解得k=-1，b=40，即一次函数表达式为y=-x+40 （2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数的顶点坐标是( )A.(2,11) B.（2，7） C.（2，11） D. （2，3）2. 把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. B. C. D. 3.函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) 4.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论: a,b同号;当和时,函数值相等;
13、当时, 的值只能取0.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个5.已知二次函数的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是（）. B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数的图象如图所示，则点在（ ）A第一象限B第二象限 C第三象限 D第四象限7.方程的正根的个数为（ ）A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为（ ）A. B. C. 或 D. 或二、填空题9二次函数的对称轴是，则_。10已知抛物线y=-2（x+3）+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_。11一个函数具有下列性质：图象过点（
