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1、高等数学练习题一第八章：XZ1.设函数2可拓)是由111所确定，则 血U今2. 二元函数在点(xO,yO)处两个偏导数1 x (xU.yO)，存在是f(x,y)在该点连续的 【】fy(A )充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件3. 设是由方程所确定的隐函数，其中F(u,v)是可微函数，a,b为常数，则必有 【】(A) a(C) a z z 2 Z b 丨(B) b a 1 X y X z z z z b T- (d ) b a 1 x y x y4. 设函数z Kx.v)具有连续的偏导数，且满足y试证 1唤凸山仅为r的 函数。解答：f f x， x yxz1.设函
2、数血y)是由hi所确定，贝Udz0.1,1dxdvv zy2.二元函数 1【“)在点(xO,yO)处两个偏导数，存在是f(x,y)在该点连续的 【D】fy(A )充分条件(B)必要条件第1页共8页(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件3. 设是由方程所确定的隐函数，其中F(u,v)是可微函数，a,b为常数，则必有【A】(A) a(C)(B) b a 1 x x z z z z b 1(d ) b a 1 x y x y4. 设函数z Rx.y)具有连续的偏导数，且满足 y试证e血凶-rsin 仅为r的 函数。【证】设rcos , rsin ，贝U因y第九章：5. 计算二次积分01y2x
3、c2d . f f x，x y z fu ( rsin ) fv (rcos ) vll ufv z f f 0，故 z r(rcos .rsin )仅为 r的函数。X,所以 X yO6. 设空间域Q是由与 所围成，则三重积分l(x.y.zjdv在柱面坐标系下的累次积分为7设函数f(x)连续，证明x y z 12 22t(z)dxdydz (1 x2)f(x)dx 11 第九章解答：第2页共8页5. 计算二次积分dxe2dy.【解】交换积分次序，有 原式 dy01y2c2dy 0y2 ” ye21y2ie2dy01r227设函数f(x)连续，证明22f(z)dxdydz (1 x2)f(x)d
4、x m1【证】利用 先二后一”法计算三重积分1x2 v 1 zdxdy8下列曲线的方向均为所围区域的正向，贝U积分曲线Lxdx dvx v22 的计算在下列曲线L所围区域上可直接使用格林公式的是【】(A) L：x2 y2 1(B) L:3(x 1)2 y2 2(C) L:(x 1)2 y2 2(D)L:： x y 19.计算曲线积分，其中L是第3页共8页沿半圆到点B(0,1)的弧段。10.设曲面；2则曲面积分 应y2 z2dS第十章解答8. 下列曲线的方向均为所围区域的正向，贝U积分曲线Lxdx ydyx y芒的计算在下列曲线L所围区域上可直接使用格林公式的是【B】(A)( B)(C)L:(x
5、 1)2 y2 2(D)L:： x v 19. 计算曲线积分，其中L是沿半圆到点B(0,1)的弧段。【解】设，贝UQ P excosv 3x2. excosv 3v2 x x补直线段BA，则L BA构成一封闭曲线，且是它所围区域D的边界曲线的正 向。于是I L BA BA设曲面：？则曲面积分x2 y2 z2dS 2第十一章：第4页共8页ii若级数an收敛，则下列结论正确的是【】h 1丨（A）2ann 1 收敛（b）（血 aii 1）收敛 n 1 h（ c）（ 1血 收敛（d）an收敛 n In 112.设幕级数aux的收敛区间为，则幕级数an )(1 nn On 0 n的收敛区间为13.设正项
6、数列徂单调递减，且（Onaii发散。n 1试判断级数mi的敛散性，其中un。如有确定结论，请给出证明；若无确定结论，请举例说明。14求幕级数的收敛域及和函数。h 1丨15设函数心）L x 的付氏级数的和函数为S（x）,0.0 x则第十一章解答ii若级数an收敛，则下列结论正确的是【b】 n 1 I（A）H ( C)( i)an 收敛(D)an单调递减，且则幕级数an x 1 n13设正项数列 的敛散性，其中mi(1 hm nn 1发散。试判断级数lid门| 。(1 al)(l a2) (1 an)如有确定结论，请给出证明；若无确定结论，请举例说明。n在(0,2 )内，再设f(x) 11( X
7、1)111，则11 liman a 0若 ，则与发散相矛盾。故liman a 0n In于是 limim 111 lim In unn 1 an 1 因此，正项级数 Ml收敛。【证】因正项数列单调递减，根据单调有界数列必有极限可得n 1kf(x)dxn 1 x 1(2 蓋)2, x (0,2)15.设函数恥)S(5)瓦x0的付氏级数的和函数为S(x)，则Lx.2第十二章：d2ydy16.微分方程2 2 v CX特解y*的形式为【】dxdx(A) Aex (B) Axex (C) Ax2ex (D) (Ax B)x2ex17. 求微分方程的通解。x2 n18. ( 1)验证函数y(刃满足微分方程 y ； n 0(211)! Jx2 n(2)利用(1)的结果求幕级数的和函数。(2n)!n 0第十二章解答：d2ydy16.微分方程丄丄丫 CX特解y*的形式为【C】dxdx (A) Aex (B) Axex (C) Ax2ex (D) (Ax B)x2cx17.求微分方程的通解。【解】原方程可化为yy第7页共8页n l(2n(2n)!n Un!(2)方程是一阶线性微分方程。通解为2的和函数y(x)dxdx 1 v e exe dx C e x e2x C 又丫1,代入通解，得C 。于是，卫疋x黑幕级数 2n 0(211)! 12 第8页共8页
