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1、新编数学北师大版精品资料第三章3.1第2课时 椭圆的简单性质一、选择题1已知椭圆的焦点在坐标轴上,长轴长是短轴长的3倍且经过定点M(3,0),则椭圆的方程为()Ay21B1Cy21或1Dx21答案C解析(1)当焦点在x轴上时,由题意可知,a3,b1,此时椭圆的方程为y21.(2)当焦点在y轴上时,设椭圆的方程为1(ab0),椭圆过点M(3,0),得b3,a9,此时椭圆的方程为1.2若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是()ABCD答案B解析本题考查了离心率的求法,这种题目主要是设法把条件转化为含a,b,c的方程式,消去b得到关于e的方程,由题意得:4b2(ac)4
2、b2(ac)23a22ac5c205e22e30(两边都除以a2)e或e1(舍),故选B3(2014潍坊二中调研)如果方程1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是()A(3,)B(,2)C(3,)(,2)D(3,)(6,2)答案D解析由于椭圆的焦点在x轴上,所以即解得a3或6ab0)的左、右焦点,P为直线x上一点,F2PF1是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为()ABCD答案C解析本题考查了椭圆的定义,几何性质及离心率的求法F2PF1是底角为30的等腰三角形|PF2|F2F1|2(ac)2ce.注意数形结合思想是解析几何的核心5椭圆1与1(0k9)的关系为()A有相等的长、短轴B有相
3、等的焦距C有相同的焦点Dx,y有相同的取值范围答案B解析0k9,09k9,1625kb0)过点(0,4),离心率为.(1)求C的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标解析(1)将(0,4)代入C的方程得1,b4,又由e得,即1,a5,C的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y(x3)代入C的方程,得1,即x23x80,x1x23,AB的中点坐标,(x1x26),即中点为(,)一、选择题1(2014全国大纲理)已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l
4、交C于A、B两点,若AF1B的周长为4,则C的方程为()A1By21C1D1答案A解析本题考查了椭圆的定义,离心率的计算,根据条件可知,且4a4,a,b22,故椭圆的方程为1.2椭圆1(ab0)的左、右顶点分别是A、B,左、右焦点分别是F1、F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为()ABCD2答案B解析A、B分别为左右顶点,F1、F2分别为左右焦点,|AF1|ac,|F1F2|2c,|BF1|ac,又由|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列得(ac)(ac)4c2,即a25c2,所以离心率e.3我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”设1(ab0
5、)是优美椭圆,F、A分别是它的左焦点和右顶点,B是它的短轴的一个端点,则ABF等于()A60B75C90D120答案C解析cosABF0ABF90,选C4若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为()A2B3C6D8答案C解析由题意,得F(1,0),设点P(x0,y0),则y3(1)(2x02),所以x0(x01)yxx0yxx03(1)(x02)22,所以当x02时,取得最大值6.二、填空题5若椭圆1的离心率为,则k_.答案或1解析当焦点在x轴上时,a2k4,b24,c2k,e,即,k,当焦点在y轴上时,a24,b2k4,c2k,e,即,k1.综上可知,k或
6、k1.6椭圆1的左焦点为F,直线xm与椭圆相交于点A、B当FAB的周长最大时,FAB的面积是_答案3解析如图,当直线xm,过右焦点(1,0)时,FAB的周长最大,由解得y,|AB|3.S323.三、解答题7如图,F1、F2分别是椭圆C:1(ab0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,F1AF260.(1)求椭圆C的离心率;(2)已知AF1B的面积为40,求a,b的值解析(1)由题意可知,AF1F2为等边三角形,a2c,所以e.(2)a24c2,b23c2,直线AB的方程可为:y(xc)将其代入椭圆方程3x24y212c2,得B(c,c)所以|AB|c0|C由SA
7、F1B|AF1|AB|sinF1ABaca240,解得a10,b5.8(2014江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连结BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结F1C(1)若点C的坐标为(,),且BF2,求椭圆的方程;(2)若F1CAB,求椭圆离心率e的值解析(1)由题意,F2(c,0),B(0,b),|BF2|a,又C(,),1,解得b1.椭圆方程为y21.(2)直线BF2方程为1,与椭圆方程1联立方程组,解得A点方程为(,b),则C点坐标为(,b),kF1C,又kAB,由F1CAB得()1,即b43a2c2c4,(a2c2)23a2c2c4,化简得e.