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1、1.2.1 排列（1）教材分析排列与组合是两类特殊的计数问题，是典型的两个计数原理的应用.排列与组合在计数中的地位,可以与数列中的等差数列、等比数列类比.本小节内容具有承上启下的地位.理解排列的概念是应用计数原理推导排列数公式的前提,同时,对具体的排列问题的分析又为得出排列数公式提供了基础.排列数公式的推导过程是分步乘法原理的一个重要应用,同时,排列数公式又是推导组合数公式的主要依据.本课时要通过实例让学生理解排列的概念,能用列举法、树形图列出排列，并从列举过程中体会排列数与计数原理的关系，体会将实际问题化归为计数问题的方法.课时分配 本节内容用3课时的时间完成，本节课是第一课时,主要理解排列
2、的概念,能运用分步乘法原理推导排列数公式.教学目标重点: 理解排列的概念，能用列举法、树形图列出排列，从简单排列问题的计数过程中体会排列数公式.难点：对排列要完成的“一件事”的理解；对“一定顺序”的理解.知识点：排列的概念,排列数公式.能力点：通过本节的学习,培养学生一题多解和一题多变的能力.教育点：经历由实际问题到排列的概念的研究过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情.自主探究点：运用分步乘法原理推导排列数公式.考试点：利用排列知识解决实际问题,并用排列数公式计算出排列数.易错易混点：（1）排列的概念的理解：“不同元素”，“按一定的顺序排成一列”；（2）中.拓展点：有特殊要求的排列问题的解
3、决方法.教具准备 多媒体课件课堂模式 学案导学一、引入新课【师】探究:在1.1节的例9中我们看到,用分步乘法计数原理解决这个问题时,因做了一些重复性工作而显得繁琐,能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢? 为了寻求简便的计数方法,我们先来分析这类问题的两个简单例子.问题一 春天是旅游的季节,旅游时我们会拍下很多美好的照片,甲、乙、丙三名同学结伴去台儿庄古城旅游,从中选出2名站成一排拍照,有多少种站法?【生1】解决这一问题可分两个步骤：第 1 步，确定站在左边位置的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种方法；第 2 步，确定站在右边位置的同学，当站在左边位置的同学确定后，站在右边位置的同学
4、只能从余下的 2 人中去选，于是有 2 种方法根据分步乘法计数原理，在 3 名同学中选出 2 名，按照站在左边位置在前，站在右边位置在后的顺序排列的不同方法共有种.【生2】可以列出所有站法:【设计意图】(1)从上节的例9提出探究问题,寻求简便的计数方法,激起学生的学习兴趣.(2)从拍照这一简单的实际问题,探究排列的概念,符合学生的认知规律.二、探究新知【师】把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素 中任取 2 个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是.共有种问题2 从1,2,3,4这 4 个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得
5、到多少个不同的三位数？【生1】可以分三个步骤来解决这个问题：第 1 步，确定百位上的数字，在 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个数字中任取 1 个，有 4 种方法；第 2 步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的 3 个数字中去取，有 3 种方法；第 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的 2 个数字中去取，有 2 种方法根据分步乘法计数原理，从 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个不同的数字中，每次取出 3 个数字，按“百”、“十”、“个”位的顺序排成一列，共有种不同的排法， 因而共可得到24个不同的三位数.【生2】可以
6、用树形图一一罗列出来:由此可写出所有的三位数:123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432.【师】 同样，问题 2 可以归结为：从4个不同的元素中任取 3 个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？所有不同排列是共有种.思考:上述两个问题的共同特点是什么?你能将它们推广到一般情形吗?师生共同归纳:1.排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.【师
7、】你能归纳一下排列的特征吗?【生】(1)“不同元素”： n个中不能重复，m个中也不能重复.(2)“按照一定的顺序”:【师】强调:（1）排列的定义包括两个方面：不同元素，按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：元素完全相同，元素的排列顺序也相同.2排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示.注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数，是一个数,所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列.3排列数公式及其推导：由的意
8、义：假定有排好顺序的2个空位，从个元素中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数由分步计数原理完成上述填空共有种填法，所以=由此，求可以按依次填3个空位来考虑，=，求以按依次填个空位来考虑， 由此,可得排列数公式： （）【师】你能归纳一下排列数公式的特点吗?师生共同归纳:（1）公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数.（2）全排列：当时即个不同元素全部取出的一个排列.全排列数：（叫做n的阶乘）另外，我们规定 0! =1 .这样,我们利用阶乘,可以
9、得到: =.即 = 因此, 【设计意图】(1) 设计两个简单例子,得到排列的概念,学生容易理解,符合学生的认知规律. (2) 排列数公式的两种形式放在一起,便于学生灵活运用.三理解新知1排列概念的理解:(1)强调:不同元素，按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：元素完全相同，元素的排列顺序也相同2. 区别排列和排列数的不同: “一个排列”是指：从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数，是一个数,所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列.【设计意图】一个新概念产生之后，我们应该端详它一番，让学生去总结发现，有利
10、于概念的理解.四、运用新知题型一 排列的概念例1 判断下列问题是否是排列问题.(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标,可得多少个不同的点的坐标?(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会,有多少种不同的抽取方法?(3)某商场有四个大门,若从一个门进去,购买物品后再从另一个门出来,不同的出入方式共有多少种?【解答】(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标,哪一数作纵坐标的顺序有关,所以这是一个排列问题.(2)因为任何一种从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不要考虑两人的顺序,所以这不是排列问题.(3)因为从一门进,从另一门出是有顺序的,所以是排列问题.
11、(1)、(3)是排列问题,(2)不是排列问题.变式训练: 1.判断下列问题是否为排列问题.(1)从五名同学中选两人分别担任正、副组长;(2)从1,2,3三个数中取两个数相乘,求积的个数;(3)从1,2,3三个数中取两个数作商,求商的个数;(4)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同).答案：(1)、(3)为排列问题.【点评】判定是不是排列问题,要抓住排列的本质特征,第一取出的元素无重复性,第二选出的元素必须与顺序有关才是排列问题.元素相同且排列顺序相同才是相同的排列.元素有序还是无序是判定是否是排列的关键.【设计意图】 对于排列的概念,设计一道例题,加深对这
12、一概念的理解,并且对下一节-组合的学习做好铺垫.题型二 排列数的计算例2 (1)计算;(2)计算;(3)求中的.【解答】(1)=.(2) =.(3)原方程可化为=,化简,得,解得由题意知解得.所以原方程的解为.【点评】在进行排列数的化简求值时,应注重一些形如和=公式的应用,会使运算量大大减少,加快解答速度.要注意通分时,将含有阶乘的公因式及时提出,然后再进行合并计算.变式训练: (1)计算:;(2)解方程.答案：（1）（2）.【设计意图】通过本例题及变式训练，会用排列数公式计算出排列数,题型三 简单的排列问题例3 五名同学站成一排.(1)一共有多少种不同的站法?(2)甲必须站在乙的右侧,共有多
13、少种不同站法?【分析】 (1)五名同学站成一排,有顺序要求,属全排列问题.(2)五名同学站好后,甲或位于乙的右侧,或位于乙的左侧,故站法是全排列数的一半. 【解答】 (1)五名同学站成一排,不同的排列对应不同的站法,故站法种数为. (2)五名同学站好后,甲位于乙右侧或左侧必属其一,故这时的站法种数为.【点评】有关基本排列问题的解法:(1)明确选出的元素有无顺序要求;(2)利用公式进行求解.变式训练: 3.学校举行运动会,从10名队员中选2人参加米接力比赛的第一棒和第四棒,有多少种不同选法?答案：90.五、课堂小结 教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答:1知识：排
14、列的概念,排列数公式及其推导.2思想：特殊到一般思想、转化与化归思想.教师总结:特别注意排列的特点,以及排列与排列数的区别.【设计意图】 加强对学生学习方法的指导，做到“精讲精练”六、布置作业 1阅读教材P14-18；2.书面作业 必做题：P20 练习1，2,3.4.5.6 习题3.1 A组 1,3,4,5选做题：1. 从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为 2. 5人站成一排，甲必须站在排头或排尾的不同站法有_种3. 解方程：33课外思考 有特殊要求的排列问题如何解决?【设计意图】现在的教材,可读性很强,培养学生良好的阅读教材的习惯.书面作业的布置，是为了让学生巩固排列的概念及排列数公式. 七、教后反思 1.本教案的亮点是例题典型性较强，变式训练较有针对性2. 排列问题与生活息息相关,多举生活中的例子,激发学生的学习兴趣,让学生感受到数学是有用的.3.由于各校的情况不同，而且本教案容量不小,建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在基本概念上下足功夫,切实让学生掌握概念,可以在例题的分析上让学生表达.八、板书设计1.2.1 排列问题一:问题二:1.排列的概念：2排列数的定义：3排列数公式及其推导：例2 例31
