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1、最新精品数学资料5正弦函数的图像与性质5.1正弦函数的图像5.2正弦函数的性质1了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法(重点)2掌握“五点法”画正弦曲线的方法和步骤,能用“五点法”作出简单的正弦曲线(难点)3能用正弦函数的图像理解和记忆正弦函数的性质(重点、难点)基础初探教材整理1“五点法”作正弦函数的图像阅读教材P25P27“例1”以上部分,完成下列问题在函数ysin x,x0,2的图像上,起着关键作用的有五个关键点:(0,0),(,0),(2,0)描出这五个点后,函数ysin x,x0,2的图像就基本上确定了因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑曲线顺次将它们
2、连接起来,就得到这个函数的简图我们称这种画正弦函数曲线的方法为“五点法”如图151.图151判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)函数ysin x在0,2和4,6上的图像形状相同,只是位置不同()(2)函数ysin x的图像介于直线y1和y1之间()(3)函数ysin x的图像关于x轴对称()(4)函数ysin x的图像与y轴只有一个交点()【解析】由函数ysin x的图像可知,ysin x的图像不关于x轴对称,与y轴只有一个交点,且图像介于直线y1和y1之间,在0,2和4,6上的图像形状相同,而位置不同【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2正弦函数的性质阅读教材P28P29“例2”以上
3、部分,完成下列问题性质定义域R值域1,1最大值与最小值当x2k(kZ)时,ymax1;当x2k(kZ)时,ymin1周期性周期函数,T2单调性在(kZ)上是增加的;在(kZ)上是减少的奇偶性奇函数对称性图像关于原点对称,对称中心(k,0),kZ;对称轴xk,kZ判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)正弦函数ysin x的定义域为R.()(2)正弦函数ysin x是单调增函数()(3)正弦函数ysin x是周期函数()(4)正弦函数ysin x的最大值为1,最小值是1.()【解析】由正弦函数性质知,(1)(3)(4)均正确,对于(2),正弦函数在(kZ)上是单调增函数,在R上不具有单调性【答案
4、】(1)(2)(3)(4)质疑手记预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:_解惑:_疑问2:_解惑:_疑问3:_解惑:_小组合作型五点法作图用“五点法”画出函数y3sin x(x0,2)的图像【精彩点拨】借助于五点作图法按下列次序完成:列表描点连线成图【自主解答】(1)列表,如下表所示:x02ysin x01010y3sin x32343(2)描点,连线,如图所示:1解答本题的关键是要抓住五个关键点使函数中x取0,2,然后相应求出y值,再作出图像2五点法作图是画三角函数的简图的常用方法,作图过程中要注重整体代换思想的运用,特别是在取值、描点上,这五点主要指函数的零点及最
5、大值、最小值点,连线要保持平滑,注意凸凹方向再练一题1作出函数y12sin x,x0,2的简图【解】按五个关键点列表:x02sin x0101012sin x11131利用正弦函数的性质描点连线作图,如图:与正弦函数有关的定义域问题求下列函数的定义域(1)y;(2)y.【精彩点拨】先根据条件,求出sin x的取值范围,再借助于单位圆或正弦线或正弦函数的图像解决【自主解答】(1)为使函数有意义,需满足12sin2x0,即sin2 x,解得sin x,结合单位圆可知,2kx2k或2kx2k(kZ)原函数的定义域为(kZ)(2)为使函数有意义,需满足即正弦函数和单位圆如图所示:定义域为.1求函数的定
6、义域通常是解不等式组,利用“数形结合”,借助于数轴画线求交集的方法进行在求解三角函数,特别是综合性较强的三角函数的定义域时,我们同样可以利用“数形结合”,在单位圆中画三角函数线,求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成2求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质,如在转化为不等式或不等式组后,要注意三角函数的符号及单调性,在进行三角函数的变形时,要注意三角函数的每一步变形都要保持恒等,即不能改变原函数的自变量的取值范围再练一题2求函数y的定义域. 【导学号:66470014】【解】要使函数有意义,只需2 sin x0.即sin x,如图所示,在区间上,适合条件的x的取值范围是x.所以
7、该函数的定义域是(kZ)正弦函数的周期性与奇偶性求下列函数的周期,并判断其奇偶性(1)ysin(xR);(2)y|sin x|(xR)【精彩点拨】(1)利用代换z2x,将求原来函数的周期转化为求ysin z的周期求解,或利用公式求解(2)作出函数图像观察求解【自主解答】(1)法一:令z2x,xR,zR,函数ysin z的最小正周期是2,就是说变量z只要且至少要增加到z2,函数ysin z(zR)的值才能重复取得,而z22x22(x),所以自变量x只要且至少要增加到x,函数值才能重复取得,从而函数f(x)sin(xR)的周期是.法二:f(x)sin中,2,T.又sinsin,且sinsin,ys
8、in是非奇非偶函数(2)作出y|sin x|的图像如图:由图像可知,y|sin x|的周期为.其图像关于y轴对称,y|sin x|是偶函数1利用周期函数的定义求三角函数的周期,关键是抓住变量“x”增加到“xT”,函数值重复出现,T是函数的一个周期这一理论依据2常见三角函数周期的求法(1)对于形如函数yAsin(x),0的周期求法,通常用定义T来求解;(2)对于形如y|Asin x|的周期情况,常结合图像法来解决再练一题3求下列函数的周期,并判断其奇偶性(1)f(x)2sin;(2)f(x)|sin 2x|.【解】(1)在f(x)2sin中,T4.又f(x)f(x),且f(x)f(x),f(x)
9、2sin是非奇非偶函数(2)作出f(x)|sin 2x|的图像如图:由图知,y|sin 2x|的周期为,又其图像关于y轴对称,因而是偶函数正弦函数的单调性(1)比较下列各组三角函数值的大小sin 与sin;sin 1,sin 2,sin 3,sin 4(由大到小排列)(2)求函数ysin的单调递增区间【精彩点拨】(1)将所给角通过诱导公式化到同一单调区间内,然后利用ysin x的单调性比较大小(2)将视为z,利用ysin z的单调性求解【自主解答】(1)sinsin,sinsin,sinsin,所以sinsin.因为sin 2sin(2),sin 3sin(3),且032sin 1sin(3)
10、0,即sin 2sin 1sin 3sin 4.(2)ysinsin.由2kx2k,kZ,得2kx2k,kZ.所以原函数的单调递增区间为,kZ.1比较sin 与sin 的大小时,可利用诱导公式,把sin 与sin 转化为同一单调区间上的正弦值,再借助于正弦函数的单调性来进行比较2比较sin 与cos 的大小,常把cos 转化为sin后,再依据单调性进行比较3当不能将两角转到同一单调区间上时,还可以借助于图像或值的符号比较4在求形如yA sin(x)(A0,0)的函数的单调区间时,应采用“换元法”整体代换,将“x”看作一个整体“z”,即通过求yA sin z的单调区间求原函数的单调区间再练一题4
11、比较sin与sin的大小【解】sinsinsin,sinsinsin.0.又ysin x在上单调递增sinsin,即sinsin.探究共研型与正弦函数有关的值域问题探究1求函数值域时首先应注意什么?【提示】求解函数值域时首先应看函数的定义域,在函数定义域内来求值域探究2对于yA sin2xBsin xC型的函数怎样求值域?【提示】利用换元法转化为二次函数求最值求下列函数的值域(1)y32 sin x;(2)ysin2xsin x.【精彩点拨】(1)利用|sin x|1即可求解(2)配方求解,要注意|sin x|1这一情况【自主解答】(1)1sin x1,1sin x1,132 sin x5,函数y32 sin x的值域为1,5(2)令tsin x,则1t1,yt2t22,当t时,ymax2.此时sin x,即x2k或x2k,kZ.当t1时,ymin.此时sin x1,即x2k,kZ.函数ysin2x sin x的值域为.此类求复合函数最大值、最小值问题关键在于依据函数值的计算过程,把原函数转化为两个基本初等函数的最大(小)值问题解答过程要特别注意:内函数(本例中tsin x)的值域恰好是外函数的定义域再练一题5求函数ysin2x4 sin x1的值域【解】ysin2x4 sin x1(sin x2)25.由1