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1、第七章 矩阵理论与方法的应用第二节投入产出数学模型1 在经济活动中分析投入多少财力、物力、在经济活动中分析投入多少财力、物力、人力，产出多少社会财富是衡量经济效益高人力，产出多少社会财富是衡量经济效益高低的主要标志。投入产出技术正是研究一个低的主要标志。投入产出技术正是研究一个经济系统各部门间的经济系统各部门间的“投入”与与“产出”关关系的系的数学模型，该方法最早由美国著名的经济学数学模型，该方法最早由美国著名的经济学家家瓦.列昂捷夫（W.Leontief）提出，是目前）提出，是目前比较成熟的经济分析方法。比较成熟的经济分析方法。2一、投入产出数学模型的概念一、投入产出数学模型的概念投入从事一
2、项经济活动的消耗；从事一项经济活动的消耗；产出从事经济活动的结果；从事经济活动的结果；投入产出数学模型通过编制投入产出表，运通过编制投入产出表，运 用线性代数工具建立数学模型，从而揭示用线性代数工具建立数学模型，从而揭示 国民经济各部门、再生产各环节之间的内国民经济各部门、再生产各环节之间的内 在联系，并据此进行经济分析、预测和安在联系，并据此进行经济分析、预测和安 排预算计划。按计量单位不同，该模型可排预算计划。按计量单位不同，该模型可 分为价值型和实物型。分为价值型和实物型。3 流量 产出投入消耗部门最终需求总产出消费 累计 出口合计生产部门新创价值工 资纯收入合 计总投入表表7.1：投入
3、产出表：投入产出表4 投入产出表投入产出表描述了各经济部门在某个时期描述了各经济部门在某个时期的投入产出情况。它的的投入产出情况。它的行表示某部门的表示某部门的产出产出；列表示某部门的表示某部门的投入投入。如。如表表7.1中第一行中第一行x1表表示部门示部门1的总产出水平，的总产出水平，x11为本部门的使用为本部门的使用量，量， (j=1,2,n)为部门为部门1提供给部门提供给部门j的使的使用用量，各部门的供给量，各部门的供给最终需求最终需求（包括居民消耗、（包括居民消耗、政府使用、出口和社会储备等）为政府使用、出口和社会储备等）为(j=1,2,n)。这几个方面投入的总和代表了这几个方面投入的
4、总和代表了这这个时期的个时期的总产出水平总产出水平。5投入产出的基本平衡关系投入产出的基本平衡关系从左到右：从左到右： 中间需求最终需求总产出中间需求最终需求总产出 (7-9)从上到下：从上到下： 中间消耗净产值总投入中间消耗净产值总投入 (7-10)由此得由此得产出平衡方程组(也称也称分配平衡方程组)：(7-11)(7-12)6需求平衡方程组：(7-13)投入平衡方程组(也称也称消耗平衡方程组)：(7-15)(7-14)7由由(7-11)和和(7-14)，可得可得(7-16) 这表明就整个国民经济来讲，用于非生这表明就整个国民经济来讲，用于非生产的消费、积累、储备和出口等方面产品的产的消费、
5、积累、储备和出口等方面产品的总价值总价值与整个国民经济与整个国民经济净产值的总和净产值的总和相等。相等。8 二、直接消耗系数二、直接消耗系数定义定义7.2.1 第第j部门生产单位价值所消耗第部门生产单位价值所消耗第i部部 门的价值称为第门的价值称为第j部门对第部门对第i部门的部门的直接消耗直接消耗 系数系数，记作，记作 。由定义得由定义得(7-17)把投入产出表中的各个中间需求把投入产出表中的各个中间需求 换成相应换成相应的的 后得到的数表称为后得到的数表称为直接消耗系数表直接消耗系数表，并，并称称n阶矩阵阶矩阵 为为直接消耗系数矩阵直接消耗系数矩阵。9例例1 已知某经济系统在一个生产周期内投
6、入已知某经济系统在一个生产周期内投入产出情况如产出情况如表表7.2，试求直接消耗系数矩阵。，试求直接消耗系数矩阵。表表7.2产出投入中间消耗最终需求总产出1 2 3中间投入123100 25 30 80 50 30 40 25 60400250300净产值总投入400 250 30010解 由直接消耗系数的定义由直接消耗系数的定义 ，得直接，得直接 消耗系数消耗系数矩阵直接消耗系数直接消耗系数 具有下面重具有下面重要性质：要性质：性质性质7.2.1 性质性质7.2.2 11由直接消耗系数的定义由直接消耗系数的定义 ，代入，代入(7-17)，得得(7-18)令令 ， (7-18)式可表示为式可表
7、示为 ，或，或(7-19)称矩阵称矩阵E-A为为列昂捷夫矩阵列昂捷夫矩阵。12类似地把类似地把 代入平衡方程代入平衡方程(7-14)得到得到(7-20)写成矩阵形式为写成矩阵形式为(7-21)其中其中13定理定理7.2.1 列昂捷夫矩阵列昂捷夫矩阵E-A是可逆的。是可逆的。如果各部门的最终需求如果各部门的最终需求已知，则由定理已知，则由定理7.2.1知，方程知，方程(7-19)存在惟一存在惟一解解 。例例2 设某工厂有三个车间，在某一个生产周设某工厂有三个车间，在某一个生产周期内各车间之间的直接消耗系数及最终需求期内各车间之间的直接消耗系数及最终需求如如表表7.3，求各车间的总产值。，求各车间
8、的总产值。14表表7.3 车间 直耗系数车间 最终需求0.25 0.1 0.10.2 0.2 0.10.1 0.1 0.2235125210解15即三个车间的总产值分别为即三个车间的总产值分别为400，300，350。16定理定理7.2.2 方程方程(E-D)X=Z的系数矩阵的系数矩阵E-D是可是可逆逆的。的。证明 因因由由性质性质7.2.2知，知， ，故，故所以所以E-D可逆。可逆。17三、完全消耗系数 直接消耗系数只反映各部门间的直接消耗，直接消耗系数只反映各部门间的直接消耗，不能反映各部门间的间接消耗，为此我们给出不能反映各部门间的间接消耗，为此我们给出如下定义。如下定义。定义定义7.2
9、.2 第第j部门生产单位价值量直接和间部门生产单位价值量直接和间 接消耗的第接消耗的第i部门的价值量总和，称为第部门的价值量总和，称为第j部部 门对第门对第i部门的部门的完全消耗系数完全消耗系数，记作，记作 。18由由 构成的构成的n阶方阵阶方阵 称为各部门间的称为各部门间的完全消耗系数矩阵完全消耗系数矩阵。定理定理7.2.3 第第j部门对第部门对第i部门的完全消耗系数部门的完全消耗系数 满足方程满足方程定理定理7.2.4 设设n个个部门的直接消耗系数矩阵为部门的直接消耗系数矩阵为 A，完全消耗系数矩阵为，完全消耗系数矩阵为B，则有，则有19证明 由由定理定理7.2.3知，知，将将 个等式用矩
10、阵表示为个等式用矩阵表示为由由定理定理7.2.1知知(E-A)可逆可逆，故，故20例例3 假设某公司三个生产部门间的报告价值假设某公司三个生产部门间的报告价值 型投入产出表如型投入产出表如表表7.4，产出投入中间消耗最终需求总产出1 2 3中间投入1231500 0 600 0 610 600 250 1525 36004001840625250030506000表表7.4求各部门间的完全消耗系数矩阵。求各部门间的完全消耗系数矩阵。21解 依次用各部门的总产值去除中间消耗栏依次用各部门的总产值去除中间消耗栏中中各列，得到各列，得到直接消耗系数矩阵直接消耗系数矩阵为为22故所求故所求完全消耗系数
11、矩阵完全消耗系数矩阵为为由此例可知，由此例可知，完全消耗系数矩阵完全消耗系数矩阵的值比的值比直接直接消耗系数矩阵消耗系数矩阵的值要大的多。的值要大的多。23定理定理7.2.5 如果第如果第j部门最终需求增加部门最终需求增加 ，而，而 其他部门的最终需求不变，那么部门总产出其他部门的最终需求不变，那么部门总产出 X的增量为的增量为 其中其中为单位坐标向量。为单位坐标向量。证明 由由定理定理7.2.4知知 ，将此，将此 关系代入方程关系代入方程(7-19)，得得24由定理假设，部门最终需求增量由定理假设，部门最终需求增量于是于是25 定理定理7.2.5表明，由第表明，由第j部门最终需求的增加部门最
12、终需求的增加（其他部门的最终需求不变），引起了各部门（其他部门的最终需求不变），引起了各部门总产值的增加。总产值的增加。 从数量上表示了各从数量上表示了各部门的增加量。如果没有这些追加，第部门的增加量。如果没有这些追加，第j部门要部门要完成增加完成增加 最终需求的任务就不能实现。最终需求的任务就不能实现。如果如果定理定理7.2.5的结论用分量表示的结论用分量表示26特别取特别取 ，则有，则有 上式的经济意义是，当第上式的经济意义是，当第j部门的最终需求部门的最终需求增加一个单位，而其他部门最终需求不变时，增加一个单位，而其他部门最终需求不变时，第第i部门总产值的增加量为部门总产值的增加量为 ，
13、当第，当第i部门的最终部门的最终需求增加一个单位而其他部门的最终需求不变需求增加一个单位而其他部门的最终需求不变时，第时，第i部门总产值的增加量为部门总产值的增加量为 。27若令若令用矩阵表示为用矩阵表示为将将 代入上式，则代入上式，则28例例4 利用利用例例1中的数据，求完全消耗系数矩阵中的数据，求完全消耗系数矩阵B。解 由由例例1知直接消耗系数矩阵知直接消耗系数矩阵于是有于是有29最后得完全消耗系数矩阵最后得完全消耗系数矩阵30四、投入产出实现模型的简单应用 投入产出法来源于一个经济系统各部门生来源于一个经济系统各部门生产和消耗的实际统计资料。它同时描述了当时产和消耗的实际统计资料。它同时
14、描述了当时各部门之间的投入与产出协调关系，反映了产各部门之间的投入与产出协调关系，反映了产品供应与需求的平衡关系，因而在实际中有广品供应与需求的平衡关系，因而在实际中有广泛应用。在经济分析方面可以用于结构分析，泛应用。在经济分析方面可以用于结构分析，还可以用于编制经济计划和进行经济调整等。还可以用于编制经济计划和进行经济调整等。 31 编制计划的一种作法是先规定各部门计的一种作法是先规定各部门计划期的总产量，然后计算出各部门的最终需划期的总产量，然后计算出各部门的最终需求；另一种作法是确定计划期各部门的最终求；另一种作法是确定计划期各部门的最终需求，然后再计算出各部门的总产出。后一需求，然后再
15、计算出各部门的总产出。后一种作法符合以社会需求决定社会产品的原则，种作法符合以社会需求决定社会产品的原则，同时也有利于调整各部门产品的结构比例，同时也有利于调整各部门产品的结构比例，是一种较合理的作法。是一种较合理的作法。32例例5 给定给定价值型投入产出表价值型投入产出表7.5，预先确定，预先确定计划期各部门最终需求如表计划期各部门最终需求如表7.6。根据投入产。根据投入产出表中的数据，算出报告期的出表中的数据，算出报告期的直接消耗系数矩阵A。假定计划期同报告期的直接消耗系数。假定计划期同报告期的直接消耗系数是相同的，因此把是相同的，因此把A作为计划期的作为计划期的直接消耗系数矩阵。再按公式
16、。再按公式 算出总产算出总产出向量出向量X。33 表表7.57.5 （单位：万元）中间需求消费 积累 合计总产出1 2 3 4 5 6中间投入12345620 10 35 5 15 5 0 0 65 0 0 10 30 20 90 10 15 1010 10 25 5 5 510 15 25 5 5 5 5 20 15 5 5 5110 40 15060 25 85225 80 30515 5 2017 8 2510 5 15240160480809070 表表7.67.6 （单位：万元）部 门 1 2 3 4 5 6消 费积 累115 62 240 15 18 1150 28 100 7 1
17、0 6合 计165 90 340 22 28 1734解 通过数值计算得到通过数值计算得到35由由 得出总产出向量得出总产出向量36这样得到各部门在计划期的总产出依次是这样得到各部门在计划期的总产出依次是(万元万元)：如果各部都能完成计划期的上述总产出值，那如果各部都能完成计划期的上述总产出值，那么就能保证完成各部门最终需求的计划任务。么就能保证完成各部门最终需求的计划任务。 在求出了各部门总产出在求出了各部门总产出 之之后，根据公式后，根据公式 可计算可计算各部门间应提多少中间需求各部门间应提多少中间需求 。具体数值表如。具体数值表如表表7.77.7。37部部 门门1 2 3 4 5 6合合
18、 计计123456合合 计计表表7.77.738 例例6 6 某地有三个产业，一个煤矿，一个发电某地有三个产业，一个煤矿，一个发电厂和一条铁路，开采一元钱的煤，煤矿要支付厂和一条铁路，开采一元钱的煤，煤矿要支付0.250.25元的电费及元的电费及0.250.25元的运输费元的运输费; ; 生产一元钱生产一元钱的电力，发电厂要支付的电力，发电厂要支付0.650.65元的煤费，元的煤费，0.050.05元元的电费及的电费及0.050.05元的运输费元的运输费; ; 创收一元钱的运输创收一元钱的运输费费, ,铁路要支付铁路要支付0.550.55元的煤费和元的煤费和0.100.10元的电元的电费，在某
19、一周内煤矿接到外地金额费，在某一周内煤矿接到外地金额5000050000元定元定货，发电厂接到外地金额货，发电厂接到外地金额2500025000元定货，外界元定货，外界对地方铁路没有需求。对地方铁路没有需求。39解 这是一个投入产出分析问题。设这是一个投入产出分析问题。设x1 1为本周为本周内煤矿总产值，内煤矿总产值，x2为电厂总产值为电厂总产值, , x3为铁路总为铁路总产值产值, , 则则问三个企业间一周内总产值多少才能满足自身问三个企业间一周内总产值多少才能满足自身及外界需求？三个企业间相互支付多少金额？及外界需求？三个企业间相互支付多少金额？三个企业各创造多少新价值三个企业各创造多少新
20、价值? ?40设产出向量为设产出向量为 ，外界需求向量为外界需求向量为 ，直接消耗矩阵为直接消耗矩阵为 。41则原方程为则原方程为 ，其中其中E-A为为列列昂捷夫矩阵昂捷夫矩阵。投入产出矩阵投入产出矩阵为为由此解得由此解得 。42新创造价值向量新创造价值向量为为总总投入向量投入向量为为43表表7.87.8投入产出分析表投入产出分析表( (单位：元单位：元) )消耗部门外界需求总产出煤矿电厂铁路生产部门煤矿0365061558250000102088电厂25522280828332500056163铁路2552228080028330新创造价值51044140419915总产出102088561632833044
