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1、初一数学竞赛系列讲座8初一数学竞赛系列讲座（8）解一次方程（组）与一次不等式（组）一、知识要点1、一元一次方程方程中或者不含分母，或者分母中不含未知数，将它们经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为最简形式ax=b（a为），它只含有一个未知数，并且未知数的次数是1,系数不等于0,我们把这一类方程叫做一元一次方程。解一元一次方程的一般步骤是：分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1。2、方程ax=b（a、b为常数）的解的情形b-、，x当a?0时，方程ax=b有唯一解a当a=0,b=0时，方程ax=b有无数多个解，即方程的解为任何有理数。当a=0,b#0时，方程ax=b无解。3、一次
2、方程组解一次方程组的基本思想是“消元”，常用方法有“代入消元法”和“加减消元法”4、不定方程不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程（组），我们常常限定只求整数解或正整数解。定理：若整系数不定方程ax+by=c（a、b互质）有一组整数解为x0,xyo ,则此方程的全部整数解可表示为：yX0V。kb （这里k为任意整数） ka5、一次不等式（组）只含一个未知数，而且未知数的最高次数是的不等式称为一元一次不等式，它的一般形式是axb或axb,那么bb,bc ,那么 ac(3)平移性如果ab,那么 a+cb+c(4) (4)伸缩性如果a
3、b,c0 ,那么 acbc如果ab , c0 ,那么 acbc不等式的同解原理1:不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式。不等式的同解原理2:不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式。不等式的同解原理3:不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，并把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式。例题精讲c/1,c,1,一3x1x12x1x1例1解万程32分析：按常规去括号整理后再解，显然较繁，通过观察发现方程中只含有（x+1）、（x-1）项，因而可将（x+1）、（x-1）看作整体，先进行移项合并,则能化繁为简
4、。3 x解：移项，得1 lx27x合并，得2去括号，移项,可解得x= -5评注：本题是整体处理思想的应用mxn例2解关于x的方程一、， 二3,显然方程无解,解：原方程整理得：（4m-3）x=4mn-3mm故当4m-3 #0时，即a时，x 44mn 3m4m 3当 4m-3=0m时，即3时，方程为0 x493n ，4n此时，若3，、，则方程为40 x 0,故方程的解为任何有理数m综上所述，当34mn3m一时，x44m3g时，方程解为任何有理数434,n3,、，二士时，方程无解。4评注：含参方程必须对参数进行讨论。方程组xyz2344x3y4z 5Q)16x 3y3x 16y3x 3y3z3z16
5、z101420分析：第一个方程组的（1）式是一个连比式，对于连比式常用连比设k法来解决。第二个方程组的各式系数较大，直接用代入消元或加减消元比较繁，观察这个方程组的特点，将三式相加可得x+y+z ,然后再用三式去分别减可得x、V、z的值。x y解：（1）设2 3-k,则x 2k,y 3k,z 4k4，代入(2)得k=5.x=10 ,y=15 , z=20x10y15原方程组的解为z20(2)(1)+(2)+(3)得22(x+y+z)=44,所以x+y+z=2所以3(x+y+z)=6(1)-(4)得13x=4，贝Ux=13(2)-(4)得13y=8，则y=1314(3)-(4)得13z=14,贝
6、Uz=13z所以原方程组的解为413 8 131413评注：解方程组时，应对方程组的整体结构进行分析，从整体上把握解题方向。例4已知关于x,y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0,当a每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解。你能求出这个公共解，并证明对任何a值它都能使方程成立吗？分析1:将已知方程按a整理得(x+y-2)a=x-2y-5,要使这些方程有一个公共解，说明这个解与a的取值无关，所以只须a的系数x+y-2=0即可。解法1:将方程按a整理得：(x+y-2)a=x-2y-5,这个关于a的方程有无穷多个解，所以有xy20胸徂x3，川十Ix2y50y1由于x、y的
7、值与a的取值无关，所以对于任何的a值，方x3程组有公共解y1分析2:分别取a=1和-2得方程3y+3=0和-3x+9=0,因a取不同的值，所得方程有一个公共解，所以这个公共解就是方程组3y303x90的解。解法2:令a=1,得：3y+3=0令2=-2,得：-3x+9=03y30x3x3解方程组3x90得y1,则y1就是所求的公共解。将x=3,y=-1代入(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0得：3(a-1)-(a+2)+5-2a=0整理得0?a=0,说明无论a取什么值，方程总是成立。评注：本题两种解法，第一种是将已知方程整理成关于a的形式，通过解与a无关，得出关于x、y的方程组，从而求出公共
8、解。第二种是先探求公共解，再证明这个解与a无关。这两种解法的思路正好相反。例5求不定方程4x+y=3xy的一切整数解x-y-,贝ij3x3y1-4一解：由原方程得：3y43y43y45c82c,.x是整数，TyYu一,2,一，1,1,01,2,4,由此得y=333取整数解y=2,1,0,对应的x=1,-1,0x1x1x0，所以方程的整数解为y 19k 0 得二 k由 5 41k 019y1y0评注：本题是用数的整除性来求不定方程的整数解。例6求方程123x+57y=531的全部正整数解解：方程两边同除以3得：41x+19y=177y所以177 41x 八-6 3x9 2x 191963x.x、
9、y是整数，.二19也是整数，取x=2得y=5 即k 041因此方程123x+57y=531x只有一组整数解y方程123x+57y=531x219k9（k为任意整数）y541k评注：本题是通过先探求一个特解，由特解写出通解，再由通解求出整数解，这是求不定方程整数解的一般步骤。例7小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分,套中小狗得2分。小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。小明套10次共得61分。问：小鸡至少被套中几次？（第四届华杯赛初赛试题）分析：设出未知数，列出不定方程，然后求不定方程的正整数解。解：设套中小鸡x次，套中小猴y次，套中小狗z次，根据题意9x5y2
10、z61xyz10我们求这个方程组的正整数解。417x,y消去z得：7x+3y=41,于是341则x了，从而x的值只能是1,2,3,4,541 7x313 2x由于y是整数，所以2-x必须是3的倍数，.x=2,5当x=2时，y=9,z=-1不是正整数；当x=5时，y=2,z=3是本题的解答：小鸡至少被套中5次例8解不等式：(1)(2x+1)2-7(x+m)2+3x(x-1)x42x31解：(1)原不等式可化为：(7-2m)xm2+67m26Wm0时，解为x2即7-2m72m7当 m= 2 即 7-2m=0118-,m2+6=4时，解为一切实x4与2x3的零点分别是4和3,由零点分段法，可把x的取
11、值范围分为三段：x;3x4;x4(2)223当x5时，原不等式可化为-x+4+2x-31,解得x03x4当2时，原不等式可化为-x+4-2x+32所以，原不等式的解为2x4时，原不等式可化为x-4-2x+34综上所述，原不等式的解集为x0或xA2评注：1、解含参不等式，一定要注意讨论未知数的系数，分大于0、小于0、等于0三种情况讨论。2、解含绝对值的不等式，常用零点分段法将绝对值去掉再求解。例9已知m、n为实数，若不等式(2m-n)x+3m-4n0的解。解：由(2m-n)x+3m-4n0得：(2m-n)x4n-3m,2mn0(1)44n3m4x-因为它的解集为9,所以有2mn97n-m由(2)
12、得8代入(1)得m0得28.m01 x-的解集为4评注：本题的关键是确定未知数X的系数，从而才能求出不等式的解。方法是首先求出m、n的关系，再代入确定未知数x的系数。例10已知关于x4 x的方程：3m 8x 17 ，当m为某些负整数时，方程的解为负整数,试求负整数m的最大值。. 一,口4.m 1,可得m x 1 211 5_44x而要使21为负整数，x必是21的倍数，所以x的最大值4x解：原方程化简整理得：214x因为m为负整数，所以21必为小于-1的负整数421口口x1,x,即x所以214为-21因为当x取最大值时，m也取得最大值，所以m的最大值为-3三、三、巩固练习选择题2001A、 2000B、 2001C、 2002 D、 20032x 3k 5 x k2、关于x的方程31的解是负数，则k的值为（1A、k 211B k 2 C、k= a D、以上解答都不x 3y 5z3、已知 xyz #0 ,且2x 3y z22 c 20 x y 2z2220,则3x2y z的值为(672323a、23b、67c、-67D、以上答案都不对1、方程122320012002的解是（）1114、方程组xy1987的整数解的个数是（）A、0B、3C、5D、以上结论都不对。2xaax.一一.一一1与一5.5、如果
