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1、刚体的平面运动刚体的平面运动是刚体运动的一种特殊形式，可视为刚体的平移与转动的合成。本章研究的主要内容是如何描述刚体的平面运动，以及如何计算刚体上点的速度和加速度。一、 刚体的平移（平动）刚体在运动过程中，如果其上任一直线始终保持与初始的方向平行，则称该刚体作平移或平动。平移刚体上各点的速度相同，加速度相同，运动轨迹的形状也相同。因此研究刚体的平移问题可简化成一个质点的运动问题来研究。二、 刚体的定轴转动图71P 刚体在运动过程中，若其上（或刚体的延展体上）有一直线保持不动，且刚体绕此直线转动，则称该刚体作定轴转动。（1）定轴转动刚体的运动方程： （2）定轴转动刚体的角速度： （3）定轴转动刚
2、体的角加速度： （4）定轴转动刚体上一点P的速度和加速度用矢量表示 速度： （71） 加速度： （72） 其中：为定轴转动刚体的角速度和角加速度矢量，是由转轴上任一点引向P点的矢径。三、刚体的平面运动刚体在运动过程中，若其上任一点到某一固定平面的距离保持不变，则称该刚体作平面运动。研究刚体的平面运动可简化为研究一个平面图形在其所在平面内的运动。1、 刚体平面运动的角速度和角加速度 在平面图形上任取两点A、B，过这两点的连线某一基准线的夹角为（如图7-2）。当刚体运动时这个夹角将随时间变化，刚体平面运动的角速度和角加速度分别定义为：， （73） （74）2、 刚体平面运动的运动方程平面运动刚体有
3、三个自由度，其运动方程为： （75）其中：A点称为基点（如图7-3所示）。因此刚体的平面运动可视为刚体随基点的平移和绕基点转动的合成，而刚体的平面平移（，其中c为常量）和定轴转动（其中为常量）又是刚体平面运动的特殊情况。图72图73ABAB同一平面运动刚体，若选取得不同的基点，则基点的运动方程会有所不同，刚体绕不同基点转过的角度只相差一个常量，因此刚体的角速度和角加速度与基点的选取无关，根据平面运动刚体角速度、角加速度的定义（73）式和（74）式也可得到这一结论。3、 平面图形上各点的速度基点法公式： （76）基点法公式建立了平面图形上任意两点的速度与平面图形角速度的关系。速度投影定理：平面图
4、形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等，即： （77）该定理反映了刚体上任意两点间距离保持不变的性质。速度瞬心法：只要平面图形的角速度不为零，就必定存在唯一的一点，其速度在该瞬时为零，该点称为平面图形的速度瞬心，用表示。平面图形上任一点M的速度可表示成 （78）其中：是从速度瞬心引向M点的矢径，为平面图形的角速度矢量。4、平面图形上各点的加速度 基点法公式： （79）其中：。基点法公式建立了平面图形上任意两点的加速度与平面图形的角速度和角加速度间的关系。只要平面图形的角速度和角加速度不同时为零，则其上必存在唯一的一点，其加速度在该瞬时为零，该点称为平面图形的加速度瞬心，用表示。33 取套筒
5、B为动点，OA杆为动系根据点的复合运动速度合成定理可得：，研究AD杆，应用速度投影定理有：，再取套筒D为动点，BC杆为动系，根据点的复合运动速度合成定理将上式在x轴上投影有：，34 AB构件（灰色物体）作平面运动，已知A点的速度CAB的速度瞬心位于C，应用速度瞬心法有：，设OB杆的角速度为，则有设P点是AB构件上与齿轮I的接触点，该点的速度： 齿轮I的角速度为：36 AB杆作平面运动，取A为基点根据基点法公式有：将上式在AB连线上投影，可得因此，因为B点作圆周运动，此时速度为零，因此只有切向加速度（方向如图）。根据加速度基点法公式将上式在AB连线上投影，可得，（瞬时针）37 齿轮II作平面运动
6、，取A为基点有 xy将上式在x 投影有：由此求得：再将基点法公式在y轴上投影有：，由此求得再研究齿轮II上的圆心，取A为基点将上式在y轴上投影有，由此解得：再将基点法公式在x轴上投影有：由此解得：，又因为由此可得：39 卷筒作平面运动，C为速度瞬心，其上D点的速度为，卷筒的角速度为：角加速度为：卷筒O点的速度为：O点作直线运动，其加速度为： OCB研究卷筒，取O为基点，求B点的加速度。将其分别在x,y轴上投影同理，取O为基点，求C点的加速度。将其分别在x,y轴上投影P310 图示瞬时，AB杆瞬时平移，因此有：AB杆的角速度：圆盘作平面运动，速度瞬心在P点，圆盘的的角速度为：圆盘上C点的速度为：
7、AB杆上的A、B两点均作圆周运动，取A为基点根据基点法公式有将上式在x轴上投影可得：因此：由于任意瞬时，圆盘的角速度均为：将其对时间求导有：，由于，所以圆盘的角加速度。 BC圆盘作平面运动，取B为基点，根据基点法公式有：P313 滑块C的速度及其加速度就是DC杆的速度和加速度。AB杆作平面运动，其速度瞬心为P，AB杆的角速度为：杆上C点的速度为：取AB杆为动系，套筒C为动点，根据点的复合运动速度合成定理有：其中：，根据几何关系可求得：AB杆作平面运动，其A点加速度为零，B点加速度铅垂，由加速度基点法公式可知由该式可求得由于A点的加速度为零，AB杆上各点加速度的分布如同定轴转动的加速度分布，AB
8、杆中点的加速度为：再取AB杆为动系，套筒C为动点，根据复合运动加速度合成定理有：其中：aK表示科氏加速度；牵连加速度就是AB杆上C点的加速度，即：将上述公式在垂直于AB杆的轴上投影有：科氏加速度，由上式可求得：3-14：取圆盘中心为动点，半圆盘为动系，动点的绝对运动为直线运动；相对运动为圆周运动；牵连运动为直线平移。由速度合成定理有： OAB图 A速度图如图A所示。由于动系平移，所以，根据速度合成定理可求出：由于圆盘O1 在半圆盘上纯滚动，圆盘O1相对半圆盘的角速度为： 由于半圆盘是平移，所以圆盘的角速度就是其相对半圆盘的角速度。再研究圆盘，取为基点根据基点法公式有：OAB图 B为求B点的加速
9、度，先求点的加速度和圆盘的角加速度。取圆盘中心为动点，半圆盘为动系，根据加速度合成定理有 图 C （a）其加速度图如图C所示，O将公式（a）在和轴上投影可得：由此求出：，圆盘的角加速度为：下面求圆盘上B点的加速度。取圆盘为研究对象，为基点，应用基点法公式有： （b）OB图 D将（b）式分别在轴上投影： 其中：，由此可得：315（b） 取BC杆为动系（瞬时平移），套筒A为动点（匀速圆周运动）。根据速度合成定理有：由上式可解得：因为BC杆瞬时平移，所以有：Pyx315（d） 取BC杆为动系（平面运动），套筒A为动点（匀速圆周运动）。BC杆作平面运动，其速度瞬心为P，设其角速度为根据速度合成定理有：
10、根据几何关系可求出：将速度合成定理公式在x,y轴上投影:由此解得:DC杆的速度3-16(b) BC杆作平面运动,根据基点法有:由于BC杆瞬时平移,上式可表示成:将上式在铅垂轴上投影有:由此解得:再研究套筒A,取BC杆为动系（平面运动），套筒A为动点（匀速圆周运动）。 (a)y其中:为科氏加速度,因为,所以动点的牵连加速度为: 由于动系瞬时平移,所以,牵连加速度为, 则(a)式可以表示成将上式在y轴上投影:由此求得: yx316(d) 取BC杆为动系，套筒A为动点，动点A的牵连加速度为动点的绝对加速度为其中为动点A的科氏加速度。将上式在y轴上投影有上式可写成 (a)其中：（见315d）为BC杆的角加速度。再取BC杆上的C点为动点，套筒为动系，由加速度合成定理有yx
