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1、工程数学-线性代数第五版答案全集 同济版 工程数学-线性代数第五版答案全集第一章 行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:2 0 1 (1) 1 4 1 ; 1 8 3解2 0 1 1 4 1 1 8 3 =2(4)3+0(1)(1)+118 0132(1)81(4)(1) =24+8+164=4.a b c (2) b c a ; c a b解a b c b c a c a b =acb+bac+cbabbbaaaccc =3abca3b3c3.1 1 1 (3) a b c ; a 2 b2 c 2解1 1 1 a b c a 2 b2 c 2成都大学诗叶子制作-1-工程数学-线性代
2、数第五版答案全集 同济版 工程数学-线性代数第五版答案全集=bc2+ca2+ab2ac2ba2cb2 =(ab)(bc)(ca).x y x+ y (4) y x + y x . x+ y x y解x y x+ y y x+ y x x+ y x y =x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yxy3(x+y)3x3 =3xy(x+y)y33x2 yx3y3x3 =2(x3+y3).2. 按自然数从小到大为标准次序 , 求下列各排列的逆序 数: (1)1 2 3 4; 解 解 解 解 逆序数为 0 逆序数为 4: 41, 43, 42, 32. 逆序数为 5: 3 2, 3 1, 4 2,
3、4 1, 2 1. 逆序数为 3: 2 1, 4 1, 4 3. (2)4 1 3 2; (3)3 4 2 1; (4)2 4 1 3; (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n);成都大学诗叶子制作-2-工程数学-线性代数第五版答案全集 同济版 工程数学-线性代数第五版答案全集解 逆序数为 3 2 (1 个) 5 2, 5 4(2 个) 7 2, 7 4, 7 6(3 个) (2n1)2, (2n1)4, (2n1)6, , (2n1)(2n2) (n1 个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2. 解 逆序数为 n(n1) : 3 2(1 个) 5 2, 5 4 (2 个)
4、(2n1)2, (2n1)4, (2n1)6, , (2n1)(2n2) (n1 个) 4 2(1 个) 6 2, 6 4(2 个) (2n)2, (2n)4, (2n)6, , (2n)(2n2) (n1 个) 3. 写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项. 解 含因子 a11a23 的项的一般形式为 (1)ta11a23a3ra4s,n(n 1) : 2成都大学诗叶子制作-3-工程数学-线性代数第五版答案全集 同济版 工程数学-线性代数第五版答案全集其中 rs 是 2 和 4 构成的排列, 这种排列共有两个, 即 24 和 42. 所以含因子 a11a23 的项分别是 (1)ta11
5、a23a32a44=(1)1a11a23a32a44=a11a23a32a44, (1)ta11a23a34a42=(1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42. 4. 计算下列各行列式:4 1 (1) 10 0 1 2 5 1 2 0 2 1 4 2; 0 7解4 1 10 01 2 5 12 0 2 14 c2 c3 4 2 = 1 0 10 7 c4 7c3 01 2 3 02 0 2 110 4 1 10 2 4+3 1 2 14 = 10 3 2 (1) 14 04 1 10 c2 + c3 9 9 10 = 1 2 2 = 0 0 2 = 0 . 10 3 14 c1
6、 + 1 c3 17 17 14 22 3 (2) 1 5 1 1 2 0 2 3 1 5 4 2 3 6 1 1; 2 2 4 2 3 6 1 c4 c2 2 1 = 3 2 1 2 5 1 1 2 0 4 2 3 6 0 r4 r2 2 2 = 3 1 0 2 2解1 1 2 01 1 2 14 2 3 40 2 0 0r4 r1 2 3 = 1 01 1 2 04 2 3 00 2 0 =0 . 0成都大学诗叶子制作-4-工程数学-线性代数第五版答案全集 同济版 工程数学-线性代数第五版答案全集 ab ac ae (3) bd cd de ; bf cf ef解 ab ac ae b c
7、 e bd cd de = adf b c e bf cf ef b c e 1 1 1 = adfbce 1 1 1 = 4abcdef . 1 1 1a 1 (4) 0 01 b 1 00 1 c 10 0 1. d 0 r1 + ar2 0 1+ ab 0 1 b 1 = 0 1 d 0 0 a 1 c 1 0 0 1 d解a 1 0 01 b 1 00 1 c 11+ ab a 0 c3 + dc2 1+ ab a ad = (1)(1) 1 c 1 = 1 c 1+ cd 0 1 d 0 1 02+1ad = (1)(1)3+ 21+ ab 1+ cd =abcd+ab+cd+ad+
8、1. 15. 证明:a2 ab b2 (1) 2a a + b 2b =(ab)3; 1 1 1证明成都大学诗叶子制作-5-工程数学-线性代数第五版答案全集 同济版 工程数学-线性代数第五版答案全集a2 ab b2 c2 c1 a2 ab a2 b2 a2 2a a + b 2b = 2a b a 2b 2a 0 0 1 1 1 c3 c1 1= (1)3+1 ab a ba2b2 a2 = (b a)(b a) a b + a =(ab)3 . 1 2 2b 2aax + by ay + bz az + bx x y z 3 3 (2) ay + bz az + bx ax + by = (
9、a + b ) y z x ; az + bx ax + by ay + bz z x y 证明 ax + by ay + bz az + bx ay + bz az + bx ax + by az + bx ax + by ay + bz x ay + bz az + bx y ay + bz az + bx = a y az + bx ax + by + b z az + bx ax + by z ax + by ay + bz x ax + by ay + bz x ay + bz z y z az + bx 2 = a y az + bx x + b z x ax + by z ax
10、+ by y x y ay + bz2x y z y z x 3 =a y z x +b z x y z x y x y z3x y z x y z 3 =a y z x +b y z x z x y z x y3x y z = (a + b ) y z x . z x y3 3成都大学诗叶子制作-6-工程数学-线性代数第五版答案全集 同济版 工程数学-线性代数第五版答案全集(a +1)2 (b +1)2 (c +1)2 (d +1)2 (a + 2)2 (b + 2)2 (c + 2)2 (d + 2)2 (a + 3)2 (b + 3)2 =0 ; (c + 3)2 (d + 3)2 (a
11、 + 3)2 (b + 3)2 (c c , c c , c c 得) (c + 3)2 4 3 3 2 2 1 (d + 3)2a2 b2 (3) 2 c d2证明a2 b2 c2 d2 (a +1)2 (b +1)2 (c +1)2 (d +1)2 (a + 2)2 (b + 2)2 (c + 2)2 (d + 2)2a2 2 = b2 c d2 a2 2 = b2 c d21 a (4) a 2 a4 1 b b2 b42a +1 2b +1 2c +1 2d +1 2a +1 2b +1 2c +1 2d +11 c c2 c4 1 d d2 d42a + 3 2b + 3 2c +
12、3 2d + 3 2 2 2 22a + 5 2b + 5 (c c , c c 得) 2c + 5 4 3 3 2 2d + 52 2 =0 . 2 2=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(a+b+c+d); 证明1 a a2 a4 1 b b2 b4 1 c c2 c4 1 d d2 d4成都大学诗叶子制作-7-工程数学-线性代数第五版答案全集 同济版 工程数学-线性代数第五版答案全集1 1 1 1 0 ba ca d a = 0 b(b a) c(c a) d (d a) 2 2 2 2 2 2 0 b (b a ) c (c a ) d 2(d 2 a2)= (b a)(
13、c a)(d a)1 1 1 b c d b2(b + a) c2(c + a) d 2(d + a)1 1 1 = (b a)(c a)(d a) 0 c b d b 0 c(c b)(c + b + a) d (d b)(d + b + a)1 = (b a)(c a)(d a)(c b)(d b) c(c +1 + a) d (d + b + a) b=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(a+b+c+d).x 0 (5) 0 an 1 x 0 an1 0 1 0 an2 0 0 0 0 L =xn+a1xn1+ +an1x+an . x 1 a2 x + a1证明用数学归纳法证明.x 当 n=2 时, D2 = a x1 = x2 + a1x + a2 , 命题成立. + a1 2假设对于(n1)阶行列式命题成立, 即Dn1=xn1+a1 xn2+ +an2x+an1,则 Dn 按第一列展开, 有Dn = xDn1 + an (1)n +11 0 0 0 x 1 0 0 1 1 x 1成都大学诗叶子制作-8-工程数学-线性代数第五版答案全集 同济版 工程数学-线性代数第五版答案全集=xD n1+an=xn+a1xn
