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1、第二讲因数和倍数的应用(一)知识要点基本概念：1、公约数和最大公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的 最大公因数。 例如：12 的约数有 1,2, 3, 4, 6, 12; 30 的因数有 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30。12和30的公因数有1, 2, 3, 6,其中6是12和30的最大公因数。一般地我们用(a,b)表示a,b这两个自然数的最大公因数，如(12, 30) =6。如果(a,b) =1,则a,b两个数是互质数。2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的 最小公倍数。例如：12
2、的倍数有12, 24, 36, 48, 60, 72,18 的倍数有18, 36, 72, 90,12 和18的公倍数有：36, 72其中36是12和 18的最小公倍数。一般地，我们用a,b表示自然数，a,b的最小公倍数，如12, 18=36。3、最大公因数与最小公倍数的求法A.最大公因数求两个数的最大公因数一般有以下几种方法(1)分解质因数法(2)短除法(3)辗转相除法(4)小数缩倍法(5)公式法前两种方法在数学课本中已经学过，在这里我们主要介绍辗转相除法。当两个整数不容易看出公约数时(一般是数字比较大)，我们可以合用辗转相 除法。B.最小公倍数求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种方法：(
3、1)分解质因数法(2)短除法(3)大数翻倍法(4) ax b = (a,b ) x a,b上面的公式表示：两个数的乘积等于这两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积。精品文档（ 二） 例题选讲例题 1： 用一个数去除30、 60、 75，都能整除，这个数最大是多少？精彩思路要求的数去除30、60、75都能整除，.要求的数是30、60、75的公约数。又要求符合条件的最大的数，就是求30、60、75的最大公约数。 精妙解答 （30, 60, 75） =5X3=15这个数最大是 15。例题 2： 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和 300厘米 .现在要把它们截成相等的小段， 每根都不能有剩余
4、， 每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？精彩思路.要截成相等的小段，且无剩余，每段长度必是120、180和300的公因数。又每段要尽可能长，要求的每段长度就是120、180和300的最大公因数。精妙解答（120, 180, 300） =30X2=60.每小段最长 60厘米。120+ 60+180+ 60+300+60=2 + 3 + 5=10 （段）例题 3： 一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每 2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？精彩思路:由题意可知，参加会餐人数应是2、 3、 4 的公倍数。 精妙解答.2
5、, 3, 4=12参加会餐人数应是12的倍数。又12+2+12 + 3+12 +4=6+4+3=13（瓶）精品文档可见12个人要用6瓶A饮料，4瓶B饮料，3瓶C饮料，共用13瓶饮料。又65+13=5.参加会餐的总人数应是12的5倍，12X5=60（人）。例题4： 两个数的最大公因数是4 ，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？精妙解答 设要求的数为x,则除以4后的余数为y：x=4Xy 28=4X7.28x=4XyX4X7又: 4是x和28的最大公约数，（y, 7） =14XyX7是x和28的最小公倍数。/.xX28=4X 252x=4X 252+ 28=36总结 ： 通过例 4
6、 的解答答过程， 不难发现： 如果用 a 和 b 表示两个自然数， 那么这两个自然数的最大公因数与最小公倍数关系是：（a, b） xa, b=axb。这样，求两个数的最小公倍数的问题，即可转化成先求两个数的最大公因数，再用最大公约数除两个数的积，其结果就是这两个数的最小公倍数。例题5： 用辗转相除法求4811 和 1981 的最大公约数。解答：.4811=2X1981+849,1981=2X 849+283,849=3X283,（4811,1981） =283。补充说明：如果要求三个或更多的数的最大公因数，可以先求其中任意两个数的最大公因数，再求这个公因数与另外一个数的最大公因数，这样求下去，
7、直至求得最后结果.也可以直接观察，依次试公有的质因数。练习 初试牛刀 1、 甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是54 ，甲数是多少？乙数是多少？2、 已知两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是31.求这两个自然数。精品文档3、 一块长方形地面，长120 米，宽 60 米，要在它的四周和四角种树，每两棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？4、 兄弟三人在外工作，大哥6 天回家一次，二哥8 天回家一次，小弟 12 天回家一次. 兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？ 挑战自我 1、将长25 分米，宽20 分米，高 15 分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能大的立方体，不能有剩余，每个立方体的体积是多少？一共可锯多少块？2、 一箱地雷，每个地雷的重量相同，且都是超过1 的整千克数，去掉箱子后地雷净重201千克，拿出若干个地雷后，净重183千克。求一个地雷的重量？ 参考答案 初试牛刀1、甲数是18，乙数是54。2、解答：设这两个自然数为 A和B。 A, B=5766 + 31 = 186。186=2X3X31,这两个自然数为 31和186或62和93。3、每两棵之间的距离是 60米，最少要种树苗 6棵。4、 10 月 25 日。 挑战自我 1、每个立方体的体积是125立方分米 .一共可锯 60块。 2、 3千克 .
