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1、最佳天然肠衣原料搭配方案模型摘要“最佳天然肠衣原料搭配方案”数学建模是一个典型的优化资源分配问题,重点是确定变量,确定好变量后,将变量组合起来,建立目标函数和约束条件,从而求解问题。“最佳天然肠衣原料搭配方案”数学建模是设计生产成品捆数最多的原料搭配方案。先把原料按长度分档,以0.5米为一档,如:3-3.4米按3米计算,3.5米-3.9米按3.5米计算,其余的依此类推。设每档对应的根数为变量x,按成品规格表的要求建立模型使装出的捆数最多,以此建立线性规划模型用lindo软件求解。并考虑食品保鲜,方案要在30分内产生。对于问题1:给定的原料一定,怎样搭配原材料才能使装出的捆数最多?先根据成品规格
2、表中的最短长度和最长长度把把原料中的不同档分为3级,即:3-6.5米、7-13.5米、14-25.5米三级。用三级所分别对应的原料装出的成品捆数y的总和z的最大值的建立目标函数,即:max z=y+y+y,再用成品的总长度和总根数与不同档的根数x确定约束条件,以此建立一个线性规划模型,用lindo软件求解。对于问题2:成品捆数相同的方案,怎样搭配原材料才能使最短长度最长的捆数最多?即:对与成品总捆数相同时,求解问题1中的第3级捆数的最大值。用第3级所对应的原料装出的成品捆数总和的最大值来建立目标函数,即:max z= y,再用第3级成品的总长度89 y和总根数20 y与不同档的根数x确定约束条
3、件,以此建立一个线性规划模型,用lindo软件求解。对于问题3:当总长度允许有0.5米的误差,总根数允许比比标准少1根时,怎样搭配原材料才能使装出的捆数最多?目标函数同问题1,即:max z=y+y+y,在问题1的基础上考虑约束条件中的总长度的范围和总根数是否减少1根,与不同档的根数x确立约束条件,以此建立一个线性规划模型,用lindo软件求解。对于问题4:原料剩余可以降级使用,即14-25.5米剩余的可用于7-13.5米,7-13.5米剩余的可用于3-6.5米,怎样搭配原材料才能使装出的捆数最多?目标函数同问题1,即:max z=y+y+y,约束条件在上述问题的基础上,对应总长度和总根数还要
4、加上上一级所剩余的数量,以此建立一个线性规划模型,用lindo软件求解。最后,我们分析了上述各种策略的弊端,并对模型进行简化,以此提出来最佳的方案,使本文的模型结构简单,便于理解,算法复杂度低,并且可扩展性高,较好地解决了本文中提出的问题,而且可以进一步推广到相关领域问题的求解。建立线性规划模型可以优化资源,用最少的原料生产出最多的产品,充分节约资源,有利于社会主义可持续发展建设目标的实施。关键字:分档 根数 捆数 lindo 线性规划一、问题重述原料按长度分档,以0.5米为一档,如:3-3.4米按3米计算,3.5米-3.9米按3.5米计算,其余的依此类推。表1是几种常见成品的规格,长度单位为
5、米,表示没有上限,取25.5米。表1 成品规格表最短长度最大长度根数总长度36.52089713.588914589为了提高生产效率,公司计划改变组装工艺,先丈量所有原料,建立一个原料表。表2为某批次原料描述。表2 原料描述表长度3-3.43.5-3.94-4.44.5-4.95-5.45.5-5.96-6.46.5-6.9根数4359394127283421长度7-7.47.5-7.98-8.48.5-8.99-9.49.5-9.910-10.410.5-10.9根数2424202521232118长度11-11.411.5-11.912-12.412.5-12.913-13.413.5-1
6、3.914-14.414.5-14.9根数3123225918253529长度15-15.415.5-15.916-16.416.5-16.917-17.417.5-17.918-18.418.5-18.9根数3042284245495064长度19-19.419.5-19.920-20.420.5-20.921-21.421.5-21.922-22.422.5-22.9根数526349352716122长度23-23.423.5-23.924-24.424.5-24.925-25.425.5-25.9根数060001根据以上成品和原料描述,设计一个原料搭配方案,工人根据这个方案“照方抓药”进
7、行生产。结合题意提出问题如下(1) 对于给定的一批原料,怎样搭配原材料才能使装出的捆数最多?(2) 对于成品捆数相同的方案,怎样搭配原材料才能使最短长度最长的捆数最多?(3) 当总长度允许有0.5米的误差,总根数允许比标准少1根时,怎样搭配原材料才能使装出的捆数最多?(4) 剩余材料可以降级使用时,怎样搭配原材料才能使装出的捆数最多?二、问题分析2.1背景分析天然肠衣(以下简称肠衣)制作加工是我国的一个传统产业,出口量占世界首位。肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段(原料),进入组装工序。传统的生产方式依靠人工,边丈量原料长度边心算,将原材料按指定根数和总长度组装出成品(捆)。根据成品和原
8、料描述,设计一个原料搭配方案,工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。这是一个典型的优化资源分配问题,重点是确定变量,确定好变量后,将变量组合起来,建立目标函数和约束条件,从而求解问题。建立线性规划模型可以优化资源,用最少的原料生产出最多的产品,充分节约资源,有利于社会主义可持续发展建设目标的实施。2.2问题分析问题1:对于给定的一批原料,装出的成品捆数越多越好。原材料是一定的,而要使装出的成品捆数最大,就可以令成品总捆数的最大值max z= y+y+y为目标函数,令不同档所对应的根数为变量,再用总长度和总根数与不同档所对应的根数确定约束条件,以此建立一个线性规划模型。问题2:对于成品捆数相同的
9、方案,最短长度最长的成品越多,方案越好。就是成品捆数不变使,求解第3级捆数的最大值,因此建立目标函数为max z= y,再用第3类的总长度89y和总根数5y与第3级所对应的不同档的根数确定约束条件,以此建立一个线性规划模型。问题3:为提高原料使用率,总长度允许有 0.5米的误差,总根数允许比标准少1根。当总长度允许有0.5米的误差,总根数允许比比标准少1根时,怎样搭配原材料才能使装出的捆数最多?在问题1的基础上考虑约束条件中的总长度的范围和总根数是否减少1根,和每档的根数建立约束条件,目标函数同问题1,以此建立一个线性规划模型。 问题4:某种规格对应原料如果出现剩余,可以降级使用。如长度为14
10、米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎,成品属于7-13.5米的规格。目标函数同问题1,约束条件在前面问题的基础上,对应总长度和总根数还要加上上一级所剩余的数量,以此建立一个线性规划模型。三、模型假设(1)假设原材料都是新鲜的,没有变质。(2)假设生产出来的成品都是合格的,没有废品。(3)假设工人都是按正常工艺生产,没有不良情绪。(4)假设生产严格按照天然肠衣加工良好操作规范(GBT 22637-2008)。四、符号说明z:装出的成品总捆数(单位:捆);y:3-6.5米内原材料装出的成品捆数之和(单位:捆);y:7-13.5米内原材料装出的成品捆数之和(单位:捆);y:14-25.5米
11、内原材料装出的成品捆数之和(单位:捆);x:3米-25.5米原料按长度分档,以0.5米为一档,装出的成品总捆数中每档所对应的总根数(单位:根),如:x-装出的成品总捆数中3米所对应的总根数,x-装出的成品总捆数中3.5米所对应的总根数,x-装出的成品总捆数中4米所对应的总根数,其余的以此类推。五、模型的建立与求解5.1问题1模型的建立与求解问题1:对于给定的一批原料,怎样搭配原材料才能使装出的捆数最多?表3 成品规格表最短长度最大长度根数总长度36.52089713.588914589根据成品规格表中的最短长度和最长长度把把原料中的不同档分为3级,即:3-6.5米、7-13.5米、14-25.
12、5米三级。各级对应的捆数分别为y,y,y,要使装出的捆数最多,就是求y+y+y的最大值,由此可以确定目标函数为Max z=y+y+y。把原料按长度分档,以0.5米为一档,如:3-3.4米按3米计算,3.5米-3.9米按3.5米计算,其余的依此类推。设每档对应的用于生产成品的根数x为变量,因此,可以把表2简化为下表表4所示:表4 原料描述简化表长度33.544.555.566.5根数4359394127283421长度77.588.599.51010.5根数2424202521232118长度1111.51212.51313.51414.5根数3123225918253529长度1515.516
13、16.51717.51818.5根数3042284245495064长度1919.52020.52121.52222.5根数526349352716122长度2323.52424.52525.5根数060001由上表可以知道不同档所消耗原料的根数x不能大于该档原材料的根数,且不能小于0,如:0x43,0x59,0x39等。结合表3、表4可以得出每级所对应的总长度89y和总根数不大于原材料的总长度和总根数。因此,建立数学模型如下所示:Max z=y+y+yst89y3x+3.5x+4x+4.5x+5x+5.5x+6x+6.5x;89y7x+7.5x+8x+8.5x+9x+9.5x+10x+10.
14、5x+11x+11.5x+12x+12.5x+13+13.5x;89y14x+14.5x+15x+15.5x+16x+16.5x+17x+17.5x+18x+18.5x+19x+19.5x+20x+20.5x+21x+21.5x+22x+22.5x+23.5x+25.5x;20yx+x+x+x+x+x+x+x;8yx+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x;5yx+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x;0x43;0x59;0x39;0x41;0x27;0x28;0x34;0x21;0x24;0x24;0x20;0x25;0x21;0x23;0x21;0x18;0x31;0x23;0x22;0x59;0x18;0x25;0x35;0x29;0x30;0x42;0x28;0x42;0x45;0x49;0x50;0x64;0x52;0x63;0x49;0x35;0x27;0x16;0x12;0x2;0x6;0x1.用lind