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1、第七部分 振动和波动一. 振动内容提要这部分内容主要包括机械振动和机械波两个部分，这两部分联系紧密，振动是波动的基础，机械波就是机械振动在弹性介质中的传播过程。振动和波动是横跨物理学不同领域物质运动的重要形式，在物理规律和研究方法上类似，对机械振动和机械波的学习，也是今后研究其他形式振动和波动的基础，如波动光学。1描述简谐运动的物理量 简谐运动方程：（1）角频率，其中T为振动周期，为振动频率，它们只和振动系统本身的物理性质有关，故又称为固有周期、固有频率。（2）振幅，由初始条件决定。其中为初位移，为初速度。（3）相位：描述t时刻振动系统的运动状态。时的相位即为初相位，有。注意：具体在哪个象限还
2、须由初始条件进一步判断。2简谐运动的特征（1）动力学特征 （2）运动学特征运动方程：振动速度：振动加速度：3简谐运动实例（1）弹簧振子：其中，角频率，则周期（2）单摆：其中，角频率，则周期4旋转矢量法以振幅A为大小的旋转矢量以匀角速度绕点O作逆时针旋转时，其矢端在x轴（或y轴）上的投影点在区间内作简谐运动。旋转矢量的空间位置与谐振动状态存在对应关系，其长度即为谐振动的振幅A，其旋转的角速度即为振动角频率，初始时刻它和x轴的夹角即为振动的初相位，t时刻的夹角即为振动相位。但要注意，做简谐运动的是矢量端点的投影点，不是矢量本身，矢量端点做圆周运动。利用旋转矢量法可以方便的对简谐运动作分析，直观而有
3、效，尤其是在分析相位问题时十分方便，应重点掌握。5简谐运动的能量动能：势能：动能和势能均作周期性变化，变化频率是振动频率的2倍。总能量。运动过程中，动能和势能互相转化，它们的总量不变，即作简谐运动的系统机械能守恒。6简谐运动的合成（1）同方向、同频率简谐运动的合成若两个分运动分别为 则合成后仍为简谐运动，方程为，振幅，其中为两分振动的相位差。初相位满足。当时，振幅。此时两分振动同相合成，振动加强。当时，振幅。此时两分振动反相合成，振动削弱。如果，则，即合振动静止。解题时，若为一些特殊值时，可利用旋转矢量法求合运动，比用解析法简便得多。至于多个同方向、同频率简谐运动的合成只需用旋转矢量法作矢量叠
4、加图即可。（2）同方向、不同频率（频率相近）简谐运动的合成合振动不再是简谐运动，合振动振幅随时间缓慢作周期性变化，变化频率称为拍频。二. 波动内容提要1描述机械波的物理量（1）波长：沿波传播方向两个相邻的、相位差为的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度。（2）周期T：波前进一个波长的距离所需要的时间。（3）频率：单位时间内波动所传播的完整波的数目，且有（4）波速（相速）u：振动状态（即振动相位）在单位时间内所传播的距离。（5）相互关系：波的周期和频率与波源振动的周期和频率相等。而波速与质元振动速度是不同的。在均匀的媒质中波速为一定量，而质元的振动速度是周期性变化的。学习中要注意波动物理量和
5、振动物理量的联系和区别。2简谐波波函数的一般形式：式中“”的取法为：当波沿x轴正向传播取“”，沿x轴负向传播取“”。3简谐波的能量（了解）平均能量密度：能流密度：注意：一质元的波动能量是不守恒的，动能和势能同相位变化，这和振动能量不同。4波的干涉（1）相干条件：频率相同、振动方向平行、相位差恒定。（2）干涉条件：相位差若两相干波源初相相同，即，则上述条件可表示为5驻波：由振幅、频率和传播速度都相等的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象。因此驻波不是真正的波。（1）驻波方程：（2）特征：波腹和波节在空间交替周期性出现，相邻波腹（或波节）的距离为，相邻波腹与波节的
6、距离为。相邻波节间各质元作同相振动，波节两侧各质元作反相振动。（3）相位跃变（半波损失）：当波从波疏媒质入射到波密媒质，反射端形成波节。此时反射波在分界处的相位较之入射波跃变了，相当于出现了半个波长的波程差。6多普勒效应设波源频率为，当波源或观察者相对介质运动时，观察者接受到的频率为其中，观察者向着波源运动时，前取正号，远离时取负号；波源向着观察者运动时，前取负号，远离时取正号。三. 解题指导在这部分内容中，主要要掌握：（1）简谐运动和简谐波的各物理量及其关系。（2）运用旋转矢量法解题，如求初相位等。（3）简谐运动的运动方程以及波函数的求解。常见习题有：由振动曲线求振动方程；由振动方程求波动方
7、程；由波形图求波动方程和由波动方程求某点振动方程等。这里要深刻理解波形图和振动图的区别。（4）同方向、同频率简谐运动的合成，波的干涉分析等。这里，主要的考试题是关于简谐运动的运动方程以及波函数的求解。下面我们举例说明。例1 一简谐运动的振幅，周期。当时，质点处于处，且向正方向运动。求：（1）简谐运动方程。（2）当质点第一次运动到处所需时间，以及此时质点的速度和加速度。分析 （1）利用旋转矢量法可以方便、直观的对谐振动进行分析和求解，特别是确定振动的相位、初相位非常方便。本题从已知条件即可由旋转矢量法求出振动的初相位，从而建立运动方程。（2）画出前后两个时刻振动状态对应的旋转矢量，用几何方法求得
8、它们的夹角，则由，即求得相应的谐振动的运动时间。同样，利用旋转矢量法确定振动质点在任意时刻的相位（）后，将其代入振动质点的位移、速度、加速度表达式，可求得相应的物理量，比解析法一般要简便得多。解 （1）由题意： 时,，如图，由旋转矢量法可得初相位。又，则运动方程为（2）由图可知角即为质点第一次运动到处时两对应旋转矢量间的夹角，则此时，旋转矢量与x轴正向夹角即为振动质点的相位，由图可知 则此时质点的速度为 质点的加速度为 例2 某振动质点的曲线如图所示，求运动方程。分析 由已知运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题。本题就是要通过曲线确定振动的三个特征量：A、和，从而写出
9、运动方程。曲线最大幅值即为振幅A；而和通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一般用旋转矢量法比较方便。解 质点振动振幅。而由振动曲线可画出和时的旋转矢量，如图所示。由图可见初相，而由得，则运动方程为例3 图为平面简谐波在时的波形图，设此简谐波的频率为250 Hz，且此时图中质点P的运动方向向上。求：（1）该波的波动方程；（2）处质点的运动方程。分析 求解这一类题目应首先写出波动方程的标准形式，即，然后设法求出A、u和等量，这样就做到有的放矢了。（1）从波形曲线图获取波的特征量。具体步骤为：从波形图得出波长、振幅A和波速；根据点P的运动趋势来判断波的传播方向，从而可确定原点处质点的运动趋向，并利用旋
10、转矢量法确定其初相。（2）在波动方程确定后，即可得到波线上距原点O为x处质点的运动方程y = y（t）。解 （1）从图中得知，波的振幅 ，波长，则波速，角频率。根据时点P向上运动，可知波沿x轴负向传播，并判定此时位于原点处的质点将沿y轴负方向运动。利用旋转矢量法可得其初相。故波动方程为（2）处质点的运动方程为四. 自测题1弹簧振子第一次从平衡位置拉开4cm振动，第二次拉开2cm振动，两次振动中相同的物理量是(A) 振幅； (B) 系统总能量； (C) 周期； (D) 最大回复力。 2一个单摆，如果摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减为原来的一半，则单摆的(A) 频率不变，振幅
11、不变； (B) 频率不变，振幅改变；(C) 频率改变，振幅不变； (D) 频率改变，振幅改变。 3一平台沿竖直方向做简谐运动，一物体置于振动平台上随平台一起运动.。当振动平台处于什么位置时,物体对台面的正压力最大(A) 当振动平台运动到最高点时； (B) 当振动平台向下运动过振动中心点时；(C) 当振动平台运动到最低点时； (D) 当振动平台向上运动过振动中心点时。 4如图是一水平弹簧振子做简谐运动的振动图像(x-t图)，由图可推断，振动系统(A) 在t1和t2时刻具有相等的动能和相同的动量；(B) 在t3和t4时刻具有相等的势能和相同的动量；(C) 在t4和t6时刻具有相同的位移和速度；(D
12、) 在t1和t6时刻具有相同的速度和加速度。 5一个弹簧振子，第一次被压缩x后释放做自由振动，周期为T1，第二次被压缩2x后释放做自由振动，周期为T2，则两次振动周期之比T1T2为(A) 11 (B) 12 (C) 21 (D) 14 6一个质点作简谐运动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为，且向x轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量图为 7已知两个振动曲线如图所示，的相位比的相位(A) 落后(B) 超前(C) 落后(D) 超前 8一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，设振子从平衡位置运动到处所经历最短时间为，从最大正位移处运动到处所经历最短时间为，则(A) t1t2 (B) t1t2
13、 (C) t1t2 (D) 无法判断 9图示为两个简谐运动的振动曲线，若它们可叠加，则合成的余弦振动的初相为(A) (B) (C) (D) 0 10在波动过程中，向前传播的是(A) 质点 (B) 加速度 (C) 速度 (D)能量 11当机械波从一种媒质进入另一种媒质时(A) 波长不变，周期和频率改变； (B) 波长不变，周期不变，频率变；(C) 波长改变，周期和频率不变； (D) 波速不变，波长和频率变。 12图中的实线表示t时刻的一列简谐横波的图像，虚线则表示()时刻该波的图像。设T为该波的周期，则的取值为(其中n0,1,2,3)(A) 若波沿x轴正方向传播，；(B) 若波沿x轴负方向传播，；(C) 若波沿x轴正
