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1、全国高中数学竞赛模拟试题一、选择题（每题6分共36分）1.由0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5的偶数有 个A.360 B.252 C.720 D.2402.已知数列(n1)满足=-，且=1,若数列的前2020项之和为2020，则前2020项的和等于 A.2020 B.2020 C.2020 D.20203.有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是，又侧棱与底面所成的角都是，则这个棱锥的体积是 A.1 B. C. D.4.若(nN+), 则被3除的余数是 A.0 B.1 C.2 D.不能确定5.已知，且，则的最小值是 A、B、C、D、
2、6.在边长为12的正三角形中有n个点，用一个半径为的圆形硬币总可以盖住其中的2个点，则n的最小值是 A.17 B.16 C.11 D.10二、填空题（每题9分共54分）7.在锐角三角形ABC中，设tanA,tanB,tanC成等差数列且函数f(x)满足f(cos2C)=cos(B+C-A)，则f(x)的解析是为 8.的末三位数是_9.集合A中的元素均为正整数，具有性质：若，则12-，这样的集合共有 个.10.抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x+y-1=0与抛物线相交于A、B两点，且|AB|=.在抛物线上是否存在一点C，使ABC为正三角形 ，若存在，C点的坐标是 .11.在数列中，
3、2，设为数列的前n项和，则的值为12. 设函数，其中函数在上是单调递减函数；则的取值范围是_.三、解答题（每题20分共60分）13. 已知点A和曲线上的点、。若、成等差数列且公差d 0,(1). 试将d表示为n的函数关系式.(2). 若,是否存在满足条件的.若存在,求出n可取的所有值,若不存在,说明理由.14.设a,b,c(1,+)，证明：2(+).15.定义下列操作规则：规则A：相邻两数a、b，顺序颠倒为b、a，称为一次“变换”。（如一行数1、2、3、4要变为3、1、2、4，可以这样操作：。）规则B：相邻三数a、b、c，顺序颠倒为c、b、a，称为一次“变换”。规则C：相邻四数a、b、c、d，
4、顺序颠倒为d、c、b、a，称为一次“变换”。现按照顺序排列着1、2、3、2020、2020，目标是：经过若干次“变换”，将这一行数变为2020、1、2、2020、2020。问：（1）只用规则A操作，目标能否实现？（2）只用规则B操作，目标能否实现？ （3）只用规则C操作，目标能否实现？ 参考答案1.解：末位是0的数共有个-，末位是2或4的数共有2(-)个.由加法原理，共有-+2(-)=252个.2.解：=-=(-)-=-,因此，对n1，+=0，从而数列中任意连续6项之和均为0.2020=3346+1,2020=3346+2,所以前2020项之和为，即=2020，于是前2020项的和等于+=20
5、20.所以选(C).3.解：这个体积是底边和高均为1的正六棱锥的体积的一半，因此4.解：=-21(mod3).所以选(B).5.解：由已知得，所以当且仅当，即时，取等号故当时，有最小值 所以选C6.解：如图(1)，作一个分割，在每个交叉点上置一个点，这时任意两点间距离不小于4，42(硬币直径)，故这时硬币不能盖住其中的两个点，说明n=10是不够的.如图(2)，另作一个分割，得到16个全个等的边长为3的正三角形，其中“向上”的三角形共有10个，它们的外接圆的半径正好是.借助图(3)可以证明：只要图(2)中的10个“向上”的三角形都用硬币覆盖，则三角形ABC完全被覆盖，这时若在三角形ABC内置11
6、个点，则必有一个硬币可以至少盖住其中的2个点.故n的最小值是11，所以选(C). 6. 解：=即。7.解：tanA=-tan(B+C),tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,tanA+tanC=2tanB,于是有3tanB=tanAtanBtanC,因为B为锐角，所以tanB0,所以tanAtanC=3,令cos2C=x,则=，所以=所以cos(B+C-A)=cos(-2A)=-cos2A=1-2=1-=,即f(x)=.8.解：(10i+1)(10i+3)(10i+7)(10i+9)=100+100i+9100+100i+21=10000+3000i(i+1)+189189(
7、mod1000).所以=189100900(mod1000).所以末三位是9009.解：从集合A的性质可得，A必然是六个集合1,11,2,10,3,9,4,8,5,7,6,中某几个的并集，因此符合要求的A共有+=-1=63个.10.解：设所求抛物线方程为，由弦长|AB|=建立关于p的方程. 解得 p=或p=-(舍去)，故抛物线方程为. 设AB的中点为D(x0,y0)，抛物线上存在满足条件的点C(x3,y3)，由于ABC为正三角形.所以CDAB，|CD|=|AB|=.由CDAB得 由 解得，不在抛物线上.故抛物线上存在一点(,)11.解：当n为偶数时，故当n奇数时，故 故12.解：（1）设，则设
8、，则显然.,只需要,就能使在上是单调递减函数；13. (1). d0,故为递增数列 最小,最大由方程知是它的右焦点,L: 是它的右准线, 于是 (2) 设 又 取最大值14, 取最小值8.可取8、9、10、11、12、13、14这七个值。14.证明：a,b,c(1,+)，logba,logcb,logac,都是正数，并且它们的乘积等于1，+3=,又2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a)3,=,+,即 2(+).15.解答：（1）能，实行如下操作：（4分）（2）不能，从左到右，把数所占的位置编上号，按照规则B，若数在号位置，一次变换后可能是号位置，所以操作过程中数所占位置的奇偶性不
9、会改变。而1、2、3、2020、2020中1在1号位，目标2020、1、2、2020、2020中1是2号位，这不可能。（8分）（3）能，通过如下操作（记为“*操作”）：可以将一个数往前提4个位置，而其他各数的顺序不变。(12分) 将2001、2002、2020、2020、2020通过“*操作”，可以变为2020、2001、2002、2020、2020，再对1997，1998，1999，2000，2020施行“*操作”，变为2020、1997、1998、1999、2000，如此反复，1、2、3、2020、2020可以变为1、2、3、4、2020、5、6、2020，最后对1、2、3、4、2020施行“*操作”得到2020、1、2、2020、2020。（14分）
