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1、word财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质与应用作 者郝芸芸系 别统计与数学学院专 业信息与计算科学 年 级10级 学 号102093113 指导教师高菲菲 导师职称讲师 辩论日期成绩容 提 要矩阵是数学中的一个重要根本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念正定矩阵是一种特殊的矩阵，其等价定理在解题过程中可以灵活使用且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质，尤其是这些性质广泛地应用于各个领域本文在第一局部介绍了实矩阵的正定性的相关定义以与其等价条件在第二局部列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性本文在第
2、三局部介绍了正定矩阵的相关定理本文在第四局部介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用关键词：二次型正定矩阵判定方法应用AbstractMatrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of line
3、ar algebra. At the same time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly. And the positive definite matrix with special properties of g
4、eneral matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of positive definite real matrix and its equivalent conditions. In the second part are held a series of properties of positive definite matrix, m
5、ainly introduced the positive definiteness correlation matrix is positive definite matrix. This paper introduces the related theorem of positive definite matrix in the third part. This paper introduces the method to judge the positive definiteness matrix in fourth parts: the definition, the master m
6、ethod, the eigenvalue method. Determination and simply cited a number of examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this paper from the proof of inequality and multiple function describes the practical application of positive definite matrices.Key words:Quadratic for
7、m Positive definite matrixDetermination methodApplication目 录引言1一、正定矩阵的定义1二、正定矩阵的性质2三、正定矩阵的有关定理6四、正定矩阵的判定方法9一定义法9二主子式法10三特征值法11四与单位矩阵合同法12五、正定矩阵的应用13一正定矩阵在不等式中的应用13二正定矩阵在多元函数极值问题中的应用14总结16参考文献16后记17 / 正定矩阵的性质与应用引言矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门根底学科，也是最具有使用价值，应用很广泛的数学理论矩阵是矩阵理论中一个重要根本概念，是代数学的一个主要研究对象，而正定矩阵作为一类常用
8、矩阵，其在计算数学、数学物理、运筹学、控制论、数值分析等领域中都具有广泛的应用二次型理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准型的问题，正定二次型在二次型理论中占有很重要的地位，在实数域上文字的正定二次型与阶正定矩阵是一一对应的，本文首先运用二次型的有定性引出了矩阵的有定性，继而给出了正定矩阵的定义其次本文证明了正定矩阵的一些实用性质以与有关定理，且论述了正定矩阵的多种判定方法，最后运用正定矩阵解决了数学中不等式的证明和多元函数极值的问题一、 正定矩阵的定义定义13设均为实常数，如此关于个实变量的二次齐次多项式函数， 称为元实二次型定义23 只含有平方项的二次型称为标准形，即 定义33
9、假如二次型的标准形中的系数仅为，如此此标准形称为二次型的规形定义4 1 实二次型称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数，都有；如果都有，那么称为负定的；如果都有，那么称为半正定的；如果都有，那么称为半负定的；如果二次型既不是半正定又不是半负定，那么就称为不定的定义51 假如实数域上的元二次型是正定二次型负定二次型，如此称为正定矩阵负定矩阵；假如二次型是半正定二次型半负定二次型，如此称为半正定矩阵半负定矩阵其中，定义61子式称为矩阵的阶顺序主子式下面是正定矩阵的一些等价条件定理18 设是阶实对称矩阵，如此如下命题等价：(1)是正定矩阵(2)的正惯性指数等于(3)的特征值全大于零(4)合同于阶
10、单位矩阵(5)合同于主对角元大于零的对角矩阵(6)存在可逆矩阵，使得，其中表示的转置注：二次型的正定负定，半正定半负定统称为二次型与其矩阵的有定性不具备有定性的二次型与其矩阵称为不定的二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系因此，二次型的正定性的判定可以转化为对应的实对称矩阵的正定性的判定二、 正定矩阵的性质性质11正定矩阵的行列式大于零证明设是正定矩阵因为与单位矩阵合同，所以有可逆矩阵使两边取行列式，有推论11假如是正定矩阵，如此的顺序主子式全大于零证明设二次型是正定的对于每个，令下面证明是一个元的正定二次型对于任意一组不全为零的实数，有因此是正定的由性质可知，的矩阵的行列式这就证
11、明了矩阵的顺序主子式全大于零性质2 6假如是正定矩阵，如此的主对角元全大于零证明设，对于任意的，恒有，其中，令，将其代入，得，所以，从而结论得证性质36正定矩阵中绝对值最大元素必可以在主对角线上取到证明设是正定矩阵，如此它的一切主子式都大于零如果是的中绝对值最大的一个元素，那么，取的二阶主子式，由此可得，因此，的绝对值不可能都小于，所以，或，故中绝对值最大的元素必可以在主对角线上取到性质48 假如是正定矩阵，如此，是正定矩阵，其中证明由是正定矩阵，可知的特征值，如此的特征值，因此是正定矩阵同理可得的特征值，因此也是正定矩阵性质57 假如是正定矩阵，如此，是正定矩阵，其中表示的逆矩阵，表示的伴随
12、矩阵证明 首先证是正定矩阵因为是正定矩阵，所以可逆且，如此有，即为实对称矩阵设的特征值为，因为是正定矩阵正定，所以故的特征值，因此也是正定矩阵再证是正定矩阵由，可得，即是实对称矩阵因为的特征值，所以是正定矩阵性质61假如是正定矩阵，如此对于任意整数，都是正定矩阵证明当时，显然是正定矩阵当时，由于，而，有性质可知，也是正定矩阵，故下面只需假定为正整数即可 当为偶数时，由于，且，由正定矩阵的等价条件(6)可知是正定矩阵 当为奇数时，由于是正定矩阵，故存在实可逆矩阵，使由此可得：，从而仍由正定矩阵的等价条件(6)可知，是正定矩阵性质74设为阶正定矩阵，如此，其中为的主对角元素.证明 设，其中为的阶顺
13、序主子式，那么，两边取行列式得 ：，因为是正定矩阵，所以，都是正定矩阵，那么由上式可知 同理，其中为的级顺序主子式阵，这样继续下去可得.性质85任意两个同阶正定矩阵的和是正定矩阵，更一般地，多个正定矩阵的正线性组合也是正定矩阵证明设,都是正定矩阵，又设由,是正定矩阵，可得如此有，所以是实对称矩阵因为对任意有，由性质4可知是正定矩阵，如此有，所以因此是正定矩阵多于两个矩阵的情形可按同样方式得出结论，并利用数学归纳法给出证明：1当时已证明命题成立；2假设时命题成立，现证明时命题也成立设是同阶正定矩阵，对任意有，其中每一项均为正所以当时，结论成立综合12可知，对于一切的自然数，多个正定矩阵的正线性组
14、合必为正定矩阵性质98如果是正定矩阵，是任意实数，如此存在正定矩阵，使得证明由于是正定矩阵，所以存在正交矩阵，使，其中，所以令，如此，结论得证 三、 正定矩阵的有关定理定理25假如，都是正定矩阵，如此是正定矩阵由定理2的推广，可以得到如下推论：推论2假如，都是正定矩阵，如此是正定矩阵推论3假如都是正定矩阵，如此是正定矩阵定理35正定矩阵的合同矩阵一定是正定矩阵证明设为阶正定矩阵，为阶实对称矩阵且与合同由正定矩阵的等价条件可知，与单位矩阵合同又因为与合同，那么也与单位矩阵合同，即为正定矩阵定理45假如,是实对称矩阵，的特征值全大于，的特征值全大于假如，如此是正定矩阵证明性质5已证得是实对称矩阵，且由条件可知，都是正定矩阵，由性质5可得是正定矩阵设是的任一特征值，如此，这明确是的特征值由于是正定矩阵，故，所以，即的特征值全大于，从而为正定矩阵推论4设都是实对称矩阵，的特征值均大于假如，如此是正定矩阵定理59假如,是正定矩阵，如此是正定矩阵的充要条件是证明 必要性：设是正定矩阵，如此是实对称矩阵，从而充分性：由知，故是实对称矩阵由于正定，存在可逆矩阵使得，从而，即与相似，因而与有一样的特征值因为
