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1、圆知识点:一、圆 1、圆的有关性质 在一种平面内,线段OA绕它固定的一种端点O旋转一周,另一种端点A随之旋转所形成的图形叫圆,固定的端点O叫圆心,线段OA叫半径。 由圆的意义可知: 圆上各点到定点(圆心O)的距离等于定长的点都在圆上。 就是说:圆是到定点的距离等于定长的点的集合,圆的内部可以看作是到圆。心的距离不不小于半径的点的集合。 圆的外部可以看作是到圆心的距离不小于半径的点的集合。连结圆上任意两点的线段叫做弦,通过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧,简称弧。 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫半圆,不小于半圆的弧叫优弧;不不小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧构
2、成的圆形叫弓形。 圆心相似,半径不相等的两个圆叫同心圆。 可以重叠的两个圆叫等圆。 同圆或等圆的半径相等。 在同圆或等圆中,可以互相重叠的弧叫等弧。 二、过三点的圆 l、过三点的圆 过三点的圆的作法:运用中垂线找圆心 定理不在同始终线上的三个点拟定一种圆。 通过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆,外接圆的圆心叫外心,这个三角形叫圆的内接三角形。 2、反证法 反证法的三个环节: 假设命题的结论不成立; 从这个假设出发,通过推理论证,得出矛盾; 由矛盾得出假设不对的,从而肯定命题的结论对的。 例如:求证三角形中最多只有一种角是钝角。 证明:设有两个以上是钝角 则两个钝角之和180 与三角形内角和等于
3、180矛盾。不也许有二个以上是钝角。 即最多只能有一种是钝角。 三、垂直于弦的直径 圆是轴对称图形,通过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。 推理1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对两条弧。 弦的垂直平分线通过圆心,并且平分弦所对的两条弧。 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一种条弧。 推理2:圆两条平行弦所夹的弧相等。 四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 事实上,圆绕圆心旋转任意一种角度,都可以与本来的图形重叠。 顶点是圆心的角叫圆心角,从圆心到弦的距离叫弦
4、心距。 定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距相等。 推理:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中,有一组量相等,那么它们所相应的其他各组量都分别相等。 五、圆周角 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角。 推理1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。 推理2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径。 推理3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 由于以上的定理、推理,所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。 六、圆的内接四边形 多
5、边形的所有顶点都在同一种圆上,这个多边形叫圆内接多边形,这个圆叫这个多边形的外接圆 定理:圆的内接四边形的对角互补,并且任何一种外角都等于它的内对角。 例如图61,连EF后,可得: DEFB DEFA180AB18ryBCDA 七、直线和圆的位置关系 1、直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫圆的割线 直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫圆的切线,唯一的公共点叫切点。 直线和圆没有公共点时,叫直线和圆相离。 2、若圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则: 直线和圆相交dr;直线和圆相切dr;直线和圆相离dr;直线和圆相交dr 例如:图62中,直线与圆O相割,有:r
6、d 图63中,直线与圆O相切,rd 图64中,直线与圆O相离,rd八、切线的鉴定和性质 切线的鉴定:通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质:圆的切线垂直于通过切点的半径推理1:通过圆心且垂直干切线的直线必通过切点。推理2:通过切点且垂直于切线的直线必通过圆心。 例如图65中,O为圆心,AC是切线,D为切点。 B90 则有BC是切线 OD是半径 ODAC 九、三角形的内切圆 规定会作图,使它和己知三角形的各边都相切 分角线上的点到角的两边距离相等。两条分角线的交点就是圆心。 这样作出的圆是三角形的内切圆,其圆心叫内心,三角形叫圆的外切三角形。 和多边形各边都相切的圆叫多边
7、形的内切圆,多边形叫圆的外切多边形。 十、切线长定理 通过圆外一点可作圆的两条切线。在通过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫这点到圆的切线长。 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角,如图66 B、C为切点,O为圆心。 ABAC,12 十一、弦切角 顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫弦切角。 弦切角定理弦切角等于它所央的弧对的圆周角。 推理如果两个弦切角所央的弧相等,那么这两个弦切角也相等。例如图67,AB为切线,则有:CBAE,BAEDCD十二、和圆有关的比例线段 相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点提成的两条线
8、段长的积相等。 推理:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 推理:从圆外一点引两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等,如图68,若F为切点 则有:AF2=AHAC,AGABAF2 EMMD=BMMG CNNH=DNNE 十三、圆和圆的位置关系如图69 若连心线长为d,两圆的半径分别为R,r,则: 1、两圆外离d Rr; 2、两圆外切d = Rr; 3、两圆相交RrdRr(Rr) 4、两圆内切d = Rr;(Rr) 5、两圆内含dRr。(Rr) 定理相交
9、两圆的连心线垂直平分丙两圆的公共弦。 如图610,O1,O2为圆心,则有:ABO1O2,且AB被O1O2平分 十四、两圆的公切线 和两个圆都相切的直线叫两圆的公切线,两圆在公切线同旁时,叫外公切线,在公切线两旁时,叫内公切线,公切线上两个切点的距离叫公切线的长。 如图611,若 A、B、C、D为切点,则AB为内公切线长,CD为外公切线长 内外公切线中的重要直角三角形,如图612,OO1A为直角三角形。 d2=(Rr)2e2为外公切线长, 又如图 613, OO1C为直角三角形。 d2(R十r)2 e2为内公切线长。 十五、相切在作图中的应用 生活、生产中常常需要由一条线(线段或孤)平滑地渡到另
10、一条线上,一般称为圆弧连接,简称连接,连接时,线段与圆弧,圆弧与圆弧在连接外相切,如图 6 14 十六、正多边形和圆 各边相等,各角也相等的多边形叫正多边形。 定理:把圆提成n(n3)等分: (l)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形; (2)通过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。 定理:任何正多边形均有一种外接圆和一种内切圆,这两个圆是同心圆。 正多边形的外接(或内切)圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径,内切圆的半径叫正多边形的边心距。 正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等,叫正多边形的中心角。 正n边形的每个中心角等于
11、 正多边形都是轴对称图形,一种正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心。 若n为偶数,则正n边形又是中心对称图形,它的中心就是对称中心。 边数相似的正多边形相似,因此周长的比等于边长的比,面积的比等于边长平方的比。 十七、正多边形的有关计算 正n边形的每个内角都等于 定理:正n边形的半径和边心距把正n边形提成2n个全等的直角三角形。正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。 十八、画正多边形 1、用量角器等分圆 2、用尺规等分圆 正三、正六、正八、正四及其倍数(正多边形)。 正五边形的近似作法; 二十、圆周长、弧长 1、圆周长C2R;2、弧长 二十一、圆扇形,弓形的面积 l、
12、圆面积:; 2、扇形面积:一条弧和通过这条弧的端点的两条半径所构成的图形叫做扇形。 在半径为R的圆中,圆心角为n的扇形面积S扇形的计算公式为: 注意:由于扇形的弧长。因此扇形的面积公式又可写为 (3)弓形的面积 由弦及其所对的弧构成的圆形叫做弓形。 弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基本上求得。如果弓形的弧是劣弧,则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。若弓形的弧是优弧,则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。 二十二、圆柱和圆锥的侧面展开图 1、圆柱的侧面展开图 圆柱可以看作是由一种矩形旋转得到的,如把矩形ABCD绕边AB旋转一周得到的图形是一种圆柱。(图6一16) AB叫圆柱的轴,圆柱侧
13、面上平行轴的线段CD, CD,都叫圆柱的母线。 圆柱的母线长都相等,等于圆柱的高。 圆柱的两个底面是平行的。 圆柱的侧面展开图是一种长方形,如图617,其中AB=高,AC=底面圆周长。 S侧面=2Rh 圆柱的轴截面是长方形一边长为h,一边长为2R R是圆柱底半径,h是圆柱的高。见图68 (2)圆锥的侧面展开图 圆锥可以看作由一种直角三角形旋转得到。 如图619,把RtOAS绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。 旋转轴SO叫圆锥的轴,连通过底面圆的圆心,且垂直底面。 连结圆锥顶点和底面圆的任意一点的SA、SA、都叫圆锥的母线,母线长都相等。 圆锥的侧面展开图如图6一19是一种扇形SAB 半径是母线长,AB是2R。(底面的周长),因此圆锥侧面积为S侧面=RL例题: 例1、如图7.21,AB是O的直径,ADCD,BCCD,且AD+BC=AB,1、求证:O与CD相切;2、若CD=3,求ADBC.特色本题来源于教材,重要考察切线的鉴定措施及相似三角形的知识.解答(1)过O点作OECD于E. AD