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1、电电 路路分分 析析 10.6 二阶电路微分方程的建立二阶电路微分方程的建立 RLC串联电路串联电路初始值为：初始值为：由由KVL：选选 iL 作变量：作变量：求一次导数，得：求一次导数，得：二阶微分方程二阶微分方程初始条件初始条件令左式令左式 t=0, 得：得：1电电 路路分分 析析RLC串联电路串联电路初始值为：初始值为：由由KVL：选选 uC 作变量：作变量：二阶微分方程二阶微分方程初始条件初始条件建立网络方程建立网络方程2电电 路路分分 析析RLC并联电路并联电路初始值为：初始值为：由由KCL：选选 uC 作变量：作变量：二阶微分方程二阶微分方程初始条件初始条件建立网络方程建立网络方程
2、求一次导数，得：求一次导数，得：令左式令左式 t=0, 得：得：3电电 路路分分 析析RLC并联电路并联电路初始值为：初始值为：由由KCL：选选 iL 作变量：作变量：二阶微分方程二阶微分方程初始条件初始条件建立网络方程建立网络方程4电电 路路分分 析析两网络及方程的对偶关系两网络及方程的对偶关系对偶关系对偶关系对偶关系对偶关系5电电 路路分分 析析 网络的固有频率网络的固有频率lRLC串联电路：串联电路：u两个微分方程的特征方程都为：两个微分方程的特征方程都为：令令特征根：特征根：称为网络的固有频率或自然频率。称为网络的固有频率或自然频率。lRLC并联电路：并联电路：u两个微分方程的特征方程
3、都为：两个微分方程的特征方程都为：令令特征根：特征根：称为网络的固有频率或自然频率。称为网络的固有频率或自然频率。对偶关系对偶关系对偶关系对偶关系6电电 路路分分 析析10.7 零输入响应零输入响应 形式之一：过阻尼形式之一：过阻尼特征根：特征根：若若即：即：RLC串联电路串联电路RLC并并联电路联电路S1，S2 是不等的负实根。是不等的负实根。零输入响应的通解为：零输入响应的通解为：7电电 路路分分 析析零输入响应的四种形式之二：零输入响应的四种形式之二：临界阻尼临界阻尼特征根：特征根：若若即：即：RLC串联电路串联电路RLC并并联电路联电路S1 = S2 = - - 是重根。是重根。零输入
4、响应的通解为：零输入响应的通解为：8电电 路路分分 析析零输入响应的四种形式之三：零输入响应的四种形式之三：欠阻尼欠阻尼特征根：特征根：若若即：即： RLC串联串联RLC并并联电路联电路一对共轭复数。一对共轭复数。零输入响应的通解为：零输入响应的通解为：令：令：其中：其中： 为衰减系数，为衰减系数， d为振荡频率。为振荡频率。衰减振荡衰减振荡9电电 路路分分 析析零输入响应的四种形式之四：零输入响应的四种形式之四：无阻尼无阻尼特征根：特征根：若若即：即： RLC串联串联RLC并并联电路联电路一对共轭虚数。一对共轭虚数。零输入响应的通解为：零输入响应的通解为：令：令：波形是等幅振荡的波形是等幅振
5、荡的10电电 路路分分 析析例题例题 1电路如图所示，它的固有电路如图所示，它的固有响应的性质是响应的性质是_。 B（A）过阻尼过阻尼 （B）欠阻尼欠阻尼（C）临界阻尼临界阻尼 （D）无阻尼无阻尼11电电 路路分分 析析 例题例题 2（自测题（自测题10-20）如图所示电路中的二极管是理想的，其中如图所示电路中的二极管是理想的，其中_电路中的电路中的二极管有时能导通，二极管有时能导通，_电路中的二极管不会导通电路中的二极管不会导通。 只要电路是振荡的，二极管才有可能导通。只要电路是振荡的，二极管才有可能导通。 AB可见，图可见，图B为欠阻尼，图为欠阻尼，图A为过阻尼。为过阻尼。 S+- -图图
6、B S+- -图图A 12电电 路路分分 析析 例题例题 3 （自测题（自测题10-21）二阶电路的电容电压二阶电路的电容电压 uC的微分方程为的微分方程为 特征方程为：特征方程为： B此电路属此电路属_情况。情况。 （A）过阻尼过阻尼 （B）欠阻尼欠阻尼 （C）临界阻尼临界阻尼 （D）无阻尼无阻尼可见特征根为一对共轭复数。故选可见特征根为一对共轭复数。故选B。 13电电 路路分分 析析 10.8 二阶电路二阶电路电路的全响应电路的全响应已知：已知：由由KVL：这是二阶非齐次线性常系数微分方程。这是二阶非齐次线性常系数微分方程。通解为：通解为： 通解特解齐次解，通解特解齐次解， 即：即：特解为
7、稳态解，特解为稳态解，设特征根为：设特征根为：S S1 1，S S2 2 则齐次解为：则齐次解为： 故通解为：故通解为：14电电 路路分分 析析 全响应的四种情况按特征根的不同，有四种情况：按特征根的不同，有四种情况： (1) 过阻尼：过阻尼： (2) 临界阻尼：临界阻尼： (3) 欠阻尼：欠阻尼： (4) 无阻尼：无阻尼： 的曲线如图所示：的曲线如图所示： 15电电 路路分分 析析二阶电路的解法二阶电路的解法l主要研究主要研究RLC串联电路串联电路和和RLC并联电路并联电路；由于这两个基本；由于这两个基本电路如何选变量、建立电路方程、求解过程都有详细的结电路如何选变量、建立电路方程、求解过程
8、都有详细的结论。故其它形式的电路尽量转化成这两个基本电路，应用论。故其它形式的电路尽量转化成这两个基本电路，应用已有的结论进行分析计算。已有的结论进行分析计算。l二阶电路的响应形式由特征根确定，即由二阶电路的响应形式由特征根确定，即由R与与L、C的关系的关系确定。其后才确定响应的通解形式，用初始值确定积分常确定。其后才确定响应的通解形式，用初始值确定积分常数。数。l一般的二阶电路的求解比较麻烦，要列写出电路的微分方一般的二阶电路的求解比较麻烦，要列写出电路的微分方程就不容易。故一般不研究。这部分内容用拉普拉斯变换程就不容易。故一般不研究。这部分内容用拉普拉斯变换方法求解就简单了。放在方法求解就
9、简单了。放在信号与系统信号与系统课程中学习。课程中学习。16电电 路路分分 析析例例 10-15电路如图所示，由电路如图所示，由t=0至至t=1s期间开关与期间开关与a接通。接通。在在t=1s时，开关接至时，开关接至b。已知已知uC(0+)=10V以及以及 t 1时，时，iL=0，试计算试计算uC(t)，t 0+，并绘波形图。并绘波形图。解：在解：在 0 t 1s，如图为如图为RC放电电路放电电路 =RC=1s 故有故有 uC(t)=10e-t V t 1s: 初始值为初始值为 uC(1+) = uC(1- -)=10e-1 ViL(1+) =0通解：通解：R=0，无阻尼情况。特征根为无阻尼情
10、况。特征根为 s1,2= j1 uC(t)=Kcos(t-1)+ 代入初值：代入初值：10e-1= Kcos 0 = - -Ksin 解得：解得： =0 K=10e-1所以，所以， uC(t)=10e-tcos(t-1) V t 1s1s波形如图所示。波形如图所示。17电电 路路分分 析析用用MATLAB求解微分方程求解微分方程l例例10-16的微分方程为的微分方程为l初始值为初始值为l函数函数 dsolve( ) uc=dsolve(0.25*D2u+5*0.25*Du+u=24,u(0)=4,Du(0)=16)18电电 路路分分 析析用用MATLAB求解微分方程求解微分方程%R=5uc1=
11、dsolve(0.25*D2uc+5*0.25*Duc+uc=24,uc(0)=4,Duc(0)=16)ic1=0.25*diff(uc1)%R=4uc2=dsolve(0.25*D2uc+4*0.25*Duc+uc=24,uc(0)=4.8,Duc(0)=19.2)ic2=0.25*diff(uc2)%R=1uc3=dsolve(0.25*D2uc+1*0.25*Duc+uc=24,uc(0)=12,Duc(0)=48)ic3=0.25*diff(uc3)19电电 路路分分 析析用用MATLAB求解微分方程求解微分方程% 电压波形figure(1)t=linspace(0,9,300);u1
12、=subs(uc1);u2=subs(uc2);u3=subs(uc3);plot(t,u1,t,u2,t,u3,linewidth,2),gridtitle(电容电压的波形),xlabel(Time(sec),ylabel(uc(V)% 电流波形figure(2)i1=subs(ic1);i2=subs(ic2);i3=subs(ic3);plot(t,i1,t,i2,t,i3,linewidth,2),gridtitle(电容电流的波形),xlabel(Time(sec),ylabel(ic(A)20电电 路路分分 析析用用MATLAB求解微分方程求解微分方程l计算结果计算结果 uc1 =
13、24-64/3*exp(-t)+4/3*exp(-4*t)ic1 =16/3*exp(-t)-4/3*exp(-4*t) uc2 =24-96/5*exp(-2*t)-96/5*exp(-2*t)*tic2 =24/5*exp(-2*t)+48/5*exp(-2*t)*tuc3 =24-12*exp(-1/2*t)*cos(1/2*15(1/2)*t)+28/5*15(1/2)*exp(- 1/2*t)*sin(1/2*15(2)*t)ic3 =12*exp(-1/2*t)*cos(1/2*15(1/2)*t)+4/5*15(1/2)*exp(-1/2*t)*sin(1/2*15(1/2)*t)21电电 路路分分 析析用用MATLAB绘波形绘波形22电电 路路分分 析析用用MATLAB绘波形绘波形23电电 路路分分 析析课堂练习课堂练习l自测题自测题10-18l自测题自测题10-19l自测题自测题10-22l自测题自测题10-23l自测题自测题10-2424
