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1、8应力状态与应变状态分析1、应力状态的概念，2、平面应力状态下的应力分析，3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。(1) 过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力，主应力排列规定按代数值由大到小为:最大切应力为Tmax(2) 任斜截面上的应力b = x y + x y cos 2a -t sin 2以a 22xyt = x心 sin 2a +tcos 2aa 2xy(3) 主应力的大小b= ZxlZx ：(ZxZZx)2 +T 2max 22xymin主平面的方位-2t tg 2a =x0 b -bx y4、主应变1/c:1% =(8 +8 ) (8 -8 )2
2、+Y22L x y x y xy 2Ytg 29 = xL8 -8xy5、广义胡克定律1 r ,、-8 x=e g x _日(b y+b,=方, I（七 +b J&z1z：x1xy1yz6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。”解题范例试画出下图8.1(a)所示间支梁A点处的原始单元体。8.1图8.1解(1)原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应 选取如下三对平面：A点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy平 面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取A点偏 上和偏下的一对与xz平行的平
3、面。截取出的单元体如图8.1(d)所示。(2)分析单元体各面上的应力:A点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A点的坐标x、y代入正 应力和切应力公式得A点单元体左右侧面的应力为:QS *T = ZIb由切应力互等定律知，单元体的上下面有切应力c ;前后边面为自由表面，应力为零。在单元体各面上画上应力，得到A点单元体如图8.1(d)。8.2图8.2(a)所示的单元体，试求(1)图示斜截面上的应力；(2)主方向和主应力， 画出主单元体；(3)主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。解(1)求斜截面上的正应力 -30。和切应力T -30。图8.2由公式-50
4、 +100 50 100。=+cos( 60。) (60) sin( 60。)=64.5MPa-30。22t= 50 100 sin(60。)+ (60) cos(60。)= 34.95MPa-30。2(2)求主方向及主应力2t tan 2a 关b b土 = -0.82 = 38.66。气19.33。a 2 70.67。 a 70一67。.最大主应力在第一象限中，对应的角度为0 70.67，主应力的大小为b =+cos(2 x 70.67。) (60)sin(2 x 70.67。)= 121.0MPa122由%+%=。疽七可解出b =b +b -b = (50) +100 (121.0) =
5、71.0MPa因有一个为零的主应力，因此b 3= 71.0MPa(第三主方向 a/ 19.33。)画出主单元体如图8.2(b)。(3)主切应力作用面的法线方向tan 2a，=50 100120=1.252a，= 51.34。a = 25.67。1a = 115.67。2主切应力为-50 -100JV（25.O,W.O4）sin（51.34。）+ （-60）cos（51.34。）= -96.04MPa = -t2此两截面上的正应力为a , = 50 +100 + - 50 -100 cos（51.34。）（-60）sin（51.34。）= 25.0MPa气22a , = 50 +100 + -
6、50 -100 cos（231.34。）- （-60）sin（231.34。）= 25.0MPa性22主切应力单元体如图8.2 （c）所示。由a； +CTa 2 - 250 + 250 一 50 MPa 一。* +a L可以验证上述结果的正确性。8.3试用图形解析法，重解例8.2。解(1)画应力圆建立比例尺，画坐标轴、T对图8.2(a)所示单元体，在a-T平面上画出代表*、T *的点A(-50,-60)和代表Ty的点B(100,60)。连接A、B，与水平轴a交于C点，以C点为圆心，CB (或CA) 为半径，作应力圆如图8.3所示.图8.3(2)斜截面上的应力在应力圆上自A点顺时针转过60，到达
7、G点。G点在a、T坐标系内的坐标即为该斜截面上的应力，从应力圆上可直接用比例尺测量或计算得到G点的水平和垂直坐标值:=-64.5MPaT a =34.95 MPa(3)主方向、主应力及主单元体图8.3所示应力圆图上H点横坐标OH为第一主应力，即q 1 = OH = 121.04MPaK点的横坐标OK为第三主应力，即q = OK = 71.04MPa3、，一一. 一 2a 由应力圆图上可以看出，由B点顺时针转过2侦0为第一主方向，在单元体上则为由y 轴顺时针转a 0，且2以。=38.66。，以。=19.33。应力圆图上由A顺时针转到K点(/ACK = 3&66。)，则在单元体上由x轴顺时针转 过
8、19.33。为第三主方向，画出主单元体仍如图8.2(b)所示。(4) 主切应力作用面的位置及其上的应力图8.3所示应力圆上N、P点分别表示主切应力作用面的相对方位及其上的应力。在应力圆上由B到N，逆时针转过51.34。，单元体上maX乍用面的外法线方向为由y 轴逆时针转过25.67。，且t=- . = CB = 96.04MPaT:和min作用面上的正应力均为25MPa,主切应力作用面的单元体仍如图8.2(c)所示。8.4如图8.4所示两端封闭的薄壁筒同时承受内压强p和外力矩m的作用。在圆筒表 面a点用应变仪测出与x轴分别成正负45。方向两个微小线段ab和ac的的应变与5。= 629.4 X1
9、0-6， 。=66.9X10-6，试求压强P和外力矩m。已知薄壁筒的平均直径d = 200mm，-45。厚度 t = 10mm，E = 200GPa，泊松比 口=0.25。图8.4解(1)a点为平面应力状态，在a点取出如图8.4(c)所示的原始单元体，其上应力:pd,b 4t(2)求图8.4(c)斜单元体efgh各面上的正应力：b _七+七 _T _ 3 pd * 2m45。2 X 8 t兀 d 2tb _b +b +T _ 3 pd 2m-45。2 X 8 t兀 d 2t（3）利用胡克定律，列出应变%、。表达式s _G _呻）=-四（1 _日）+（1+日）45。E 45。-45。E L 8
10、t兀 d 2t_s =1 G 呻）=-处（1 _）-2（1+日）-45。E-45。45。E L 8 t兀 d 2t_将给定数据代入上式629.4 x 10_61(3 p x 200 2m x 106-xx0.75 +200 x 103 槌10兀 x 2002 x 10x 1.25J1 66.9 x 10_6 =(3 p x 200 2m x 106)-xx 0.75 x 1.25200 x 103 槌10兀 x 2002 x 10J得内压强和外力矩p = 10MPa,m=35kNm8.5矩形截面简支梁如图8.5所示，已知梁的横截面面积为A,截面惯性矩为I,材料的弹性模量为E,泊松比为p，梁外表
11、面中性层上A点45方向的线应变为 4/请选择荷载F.(A)ES45 A1 一 |LX图8.545 A(B)日一19 Es445 A(C) 4(1-四)4 Es45 A(D) 9(1四)答案:（A）习题解析8.1单元体最大正应力面上的切应力恒等于零吗？解正确。因为在主平面上的正应力 1是单元体内各截面上正应力的极值（可以 为最大值），而主平面上切应力为零。8.2单元体最大切应力面上的正应力恒等于零，对吗？解不正确。三向应力状态下单元体有3个主应力，而最大切应力由*。3决定，即：T -Cmax 28.3若一单元体中两个面上切应力数值相等，符号相反，则该两平面必定相互垂 直，这种说法对吗？解正确。由
12、切应力双生互等定理知若切应力数值上T1=T 2,符号相反时，该两平 面必定相互垂直。图8.68.4直径d=20mm、L=2m的圆截面杆，受力如图8.7。试绘杆件中A点和B点的 单元体受力图，算出单元体上的应力的数值，并确定这些点是否为危险点。(a)(b)(c)图8.7解以下图8.8为图8.7各单元体受力图:A点(a)A点(b)B点T图 8.8应力计算: 图（a）的A点：N b= =63.69MPAa80=50.96MP(b)的A点:兀只d316(c)的A点:N = 127.38MPAB点:b = = 127.38MP Aa80t = 50.96MP兀、d3 16（d）中A点（压应力）:20 X
13、103B点:= Wz1 x 3.14 x (20 x 10-3)3=25.48MPa4Q=0.17MP 3A（b）中的A为危险点，（c）中的A、B为危险点，（d）中的A，B点均为危险点，相比之下A点的应力较大。8.5已知应力状态如图8.9所示（应力单位:MPa）。试用图解法求:（1）（a）、（b）中指定斜截面上的应力;并用解析法校核之;（c）、（d）、（e）上主应力的大小与方向，在单元体上画出主平面的位置，求最大切应力。（a）30o斜截面单元本；（b）45。斜截面单元体；（c）纯切应力单元体；（d）压拉切单元体（e） 拉压切单元体。图8.9标为解析法校核:。30。= 45MP七0。= 8.5MP30 + 50 50 - 30+ cos60 = 45MP2ab = x y + xy cos 2a-t sin 2a =a22x2气一sin2a+ t cos2a = = 53 = 8.5MP22a(b)用比例画出应力圆,E点的坐标为b = 5MP=25MP45。45。解(a)按比例画出应力圆如下图，可得a =300的斜截面的正应力和切应力为E点的坐解析法校核:-20sin 90。= 5MPaycos 2a-t sin 2a = 50 + 50 cos90x22t = sin
