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1、初中数学等腰三角形的分类讨论等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。那么在什么情况下应该分类讨论呢？本文分以下几种情形讲述。一. 遇角需讨论例1. 已知等腰三角形的一个内角为75则其顶角为（ ）A. 30B. 75C. 105D. 30或75二. 遇边需讨论例2. 已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_。三. 遇中线需讨论例3. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。四. 遇高需讨论例4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰
2、所成的夹角为45，求这个等腰三角形的顶角的度数。简析：依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为45，图2中顶角为135。例5. 为美化环境，计划在某小区内用的草皮铺设一块一边长为10的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。五. 遇中垂线需讨论例6.在ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50，则底角B=_。六. 和方程问题的综合讨论例7. 已知ABC的两边AB，AC的长是关于的一元二次方程 的两个实数根，第三边BC长为5。（1）为何值时，ABC是以BC为斜边的直角三角形？（2）为何值时，ABC是等腰三角形，并求ABC的周长。七、找点构造等腰三角形需
3、讨论例8在直角坐标系中，O为坐标原点，A（1,1）；在坐标轴上确定一点P，使AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ） A、4个 B、6个 C、8个 D、1个等腰三角形中的分类讨论1三角形中常见的分类问题I（1）等腰三角形两个内角的度数之比为1:2，这个等腰三角形底角的度数为_；（2）等腰ABC的周长为13，AB=5，则BC=_；（3）等腰ABC的周长为16，AB=4，则BC=_.2三角形中常见的分类问题II（1）等腰三角形一腰上的高等于某条边的一半，则它的顶角是_度；（2）等腰三角形一边上的高等于底边的一半，则它的顶角是_度；（3）一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的
4、底角的度数是_.3三角形的剖分（1）已知等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，连结AD，若ACD和ABD都是等腰三角形，则C的度数是_； （2）有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为_；（3）ABC中，AB=AC，过ABC某一顶点的直线可将ABC分成两个等腰三角形，试求ABC各内角的度数。（4）一个三角形可被剖分成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为36，求原三角形最大内角的所有可能值。4、分类讨论题练习5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为，则它的底角为 ，当腰上的高与底的夹角为时，则它的底角为 ；若等腰三角形一腰上
5、的高与另一腰的夹角为，它的底角为 6、 等腰三角形周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边长为 7、等腰三角形的腰上的中线把的周长分为12cm和21cm两部分，则底边8已知中，是上的高，且恰好为等腰三角形，则9已知，是Rt斜边上的两点，且，则等腰三角形中的分类讨论（一）复习回顾1、定义：有_边相等的三角形叫做等腰三角形。2、性质：从边来看，等腰三角形两条腰_；从角来看，等腰三角形的两个底角_从内部的线来看，等腰三角形的顶角_，底边上的_，底边上的_互相重合(简称“三线合一”)；从对称性来看，等腰三角形是轴对称图形，有_条对称轴A、1条 B、2条 C、3条 D、1或3条3、三角形
6、的高分为形内高和形外高；锐角三角形的三条高线的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高线的交点是直角顶点；钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部。（二）交流展示1、遇角分类（1）已知等腰三角形的顶角是70，则底角的度数是_（2）已知等腰三角形的一内角是70，则底角的度数是_（3）已知等腰三角形的一内角是100，则底角的度数是_（4）已知等腰三角形的一个外角为40，则其顶角为 。（5）已知等腰三角形的一个外角为100，则其顶角为 。（6）等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数。等腰三角形中涉及到角的问题时，可以按顶角、底角分类讨论。（但要利用三角形内角和判断三角形是否存
7、在。）2、遇边分类例：（1）一个等腰三角形两边长分别为4和5，则它的周长等于_ 。（2）一个等腰三角形两边长分别为3和7，则它的周长等于 。变式训练：（1）如果一个等腰三角形的周长为24，一边长为10，则另两边长为 。（2）如果一个等腰三角形的周长为24，一边长为6，则另两边长为 。等腰三角形中涉及到边的问题时，可以按照腰、底边来分类讨论。（但要利用三角形三边关系来判断三角形是否存在。）。例：若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，则这个等腰三角形的底边长 。变式训练：（1）若一个等腰三角形的底边为5，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3，则这个等腰三角形的腰长为 。（2）若
8、一个平行四边形一个内角的平分线分对边为4和5两部分，则这个平行四边形的周长为 。3、遇高分类例4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45，求这个等腰三角形的顶角的度数。下面是两位学生的探讨过程：学习了等腰三角形内容后，李老师布置了一道题：等腰三角形上的高与另一腰的夹角为30，求顶角的度数小王说：“顶角的度数应为60”；小张说：“应该等于120吧”这时许多同学一起来议论（1）假如你也参加了讨论，你的意见如何？为什么？（2）通过上面问题的讨论，结合平时的学习，写写自己的想法（用一句话表示）变式训练：1、等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25，求此三角形的顶角的度数_2、等腰三角形的一个内
9、角为40，则一腰上的高与底边的夹角为 。等腰三角形中涉及到高的问题时，可以按照三角形类型来分类讨论。说明：三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外。4、遇垂直平分线分类在ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50，则底角B=_。链接：线段AB的垂直平分线上有两点C、D，若CAB=50，DAB=80，则CAD= 。5、能力提升当等腰三角形被一条直线分割成两个较小的三角形也是等腰三角形时，原等腰三角形的顶角度数是多少？这条直线怎样画？（讨论所有可能的解，并逐一画图表示）直线经过底角顶点时为36
10、、180/7；直线经过顶点时为90、108ABC备用图如图，在中，点在线段上运动（D不与B、C重合），连接AD，作，交线段于。在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出的度数，并说明理由。DABCE如图，在直线l上找一点C使得为等腰三角形，这样的点C有 个。（四）课堂检测1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为55，求这个等腰三角形的顶角的度数。2、已知等腰三角形的一个内角为75，则其顶角为（ ）A. 30B. 75C. 105D. 30或753、已知等腰三角形的一个外角等于150，求它的各个内角的度数4、若一个等腰三角形的一个内角为105，则另两个角的度数为 。5、已知
11、等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，则它的周长为_6、已知等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则它的周长为_7、等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么它的底边长为_8、 等腰三角形底边为5cm，一腰上的中线把周长分为两部分的差为3cm.求腰长在ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40，求B的度数关于等腰三角形中分类讨论问题的探讨一、当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论例1、（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，求周长。（2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。二、当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论例2、等
12、腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数；例3、已知等腰三角形的一个外角等于1500，求它的各个内角。三、当高的位置关系不确定时，必须分类讨论例4、等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为250，求这个三角形的各个内角的度数。四、由腰的垂直平分线所引起的分类讨论 图3例5、在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为400，求底角B的度数。分析：题目中AB边上的垂直平分线与直线AC相交有两种情形； 图4解：（ 。（2） 如图5，AB边的垂直（3） 五、由腰上的中线引起的分类讨论例6、等腰三角形底边为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，求腰长。六、几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论的问题例7、已知C、D两点在线段AB的中垂线上，且ACB=500，ADB=800，求CAD的度数。 例8、如图9，已知ABC中，BCABAC，ACB=400，如果D、E是直线AB上的两点，且AD=AC，BE=BC，求DCE的度数。 图9解：（1）当点D、E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，如图10， 图10 图11（2）当点D、E在点A的同侧，且点D在D的位置，E在E的为时，如图11，（3）当点D、E在点A的两侧，且E点在E的位置时，如图12，
