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1、椭圆及其标准方程一、 学情分析 学生在必修中学过圆锥曲线之一，圆。掌握了圆的定义及圆的标准方程的推导，学生可以用类比的方法来研究中一种圆锥曲线椭圆。二、 教材内容分析 椭圆及其标准方程是人教版教科书（选修）数学1-1第2章圆锥曲线与方程第二节内容。本节在教材中的地位和作用：椭圆及其标准方程在本章节是非常重要的部分，起着总领全章的作用。而圆锥曲线是高考的重点，也是教学的重点。而且本章节的内容和生活实践的联系也比较紧密，是培养学生把数学知识应用到实际生活的能力的重要章节。本章节的教学还有利于培养学生的数形结合的能力。因为椭圆，双曲线以及抛物线有相类似的性质，教学中只要真正的把椭圆的性质讲透了，那其
2、它两部分的教学也就事半功倍了。二、教学设计思想 为了培养不仅能“学会”知识，而且能“会学”知识的人才，在课堂设计上，教师应学会如何创设情景，激发学生学习的兴趣；围绕教材的重难点，比如本节的“椭圆的标准方程及其推导”，教师应学会如何设计不同的活动环节，设置由浅入深、环环相扣的问题，通过教师适时的引导，通过生生间、师生间的交流互动，通过学生自己的发现、分析、探究、反思，使学生真正成为学习的主人，不断完善自己的知识体系，提高获取知识的能力，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦。三、教学目标（一）知识与技能1、理解椭圆、椭圆的焦点和焦距的定义。2、掌握椭圆标准方程的推导过程。 3、建立直角坐标系，根据椭
3、圆的定义建立椭圆的标准方程。（二）过程与方法通过对椭圆标准方程的推导，是学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标解决几何问题的能力。（三）情感态度、价值观 通过主动探究、合作学习，相互交流，对知识的归纳总结，感受探索的乐趣与成功的喜悦，增强学生学习的信心。四、教学重点和难点重点：椭圆定义的形成和标准方程的推导。难点：椭圆标准方程的推导和化简。关键点：抓住“建立坐标系”和“化简方程”两个环节。教学方法：主要采用探究实践、启发与讲练相结合 五、教学基本流程（一）动手实验，亲身体会阅读教材第43页探究1的内容，按着步骤动手画图（教师巡视指导，展示学生成果）思
4、考1：作图过程中要注意观察椭圆的几何特征，即椭圆上的点要满足怎样的几何条件？思考2：如果调整细绳两端的相对位置，细绳的长度不变，猜想椭圆会发生怎样的变化?师：同学们，看到老师写的标题，大家想知道什么呢？生：椭圆。（有些会说是标准方程，这时老师：是什么的标准方程呢，椭圆）。椭圆椭圆，从字面来看，同学们会想到什么图形呢？师：大家对圆应该不那么陌生吧。请大家告诉我：圆的定义是什么？生：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹。师： 那么，大家想想，画圆的时候我们有什么工具呢？师生：圆规。师：那画椭圆呢，（稍停顿）有没有椭圆规呢。生：没有椭圆规，还没发明。师：不用椭圆规，这里老师有一个办法可以画出椭圆，请
5、同学们把课前准备的绳子拿出来。并翻到课本23页，按着探究1的步骤动手画一画，待会同学们在画图的过程中，要认真观察你画出来的是什么图形，图形上的点要满足什么条件？下面同桌两个人一组，动动手。师：（教师巡视）两个同学，一个同学把绳子的两端固定好，另一个同学用笔尖把绳子拉紧并在纸上慢慢地移动。师：好，这个小组已经画好了，她们画出来的是什么图形呢？师、生：是一个椭圆。师：还有哪个小组来展示一下自己的成果。.好，大家一起来看看，她们画出的是什么图形？为什么会出现这种现象呢？（二）分析实验，得出规律活动：教师用多媒体演示画图的整个过程，之后与学生探讨在华椭圆的过程中能得到什么规律。(1)在画出一个椭圆的过
6、程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？(2)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？(3)在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？(4)改变绳子长度与两定点距离的大小，轨迹又是什么？学生总结规律： 轨迹为椭圆； 轨迹为线段 ； 轨迹不存在。【设计意图】在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义，而是设计一个实验，一来是为了给学生一个动手实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践思考，为进一步上升到理论做准备。师：刚才在画图的过程中，我们发现这两个点（F1、F2）是固定的还是移动的？生：固定的。师：在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？生：没有
7、变，到两个定点、的距离之和等于常数。师：我们可以另它为2a。我想找一位同学来当我的助手，同学们要认真观察我们画出来的是什么图形。当定长两定点距离的时候会画出来什么图形呢？生：一个椭圆。（板书： 椭圆）师：那如果改变两定点距离的大小，轨迹又是什么呢？生：一条线段。（板书：线段）师：很好，如果绳子的长度n0）则、移项后再平方由MF1+MF2=2a得 移项得 平方得 整理得 再平方得再整理得 师：如果我们把点M放到特殊的位置Y轴上设为M1，连接M1F1和M1F2之后发现M1F1F2是一个等腰三角形，所以这里M1F1=a,M1F2=a,OF2=c,在直角M1OF2中，我们再来看一下这个式子，看到a2-
8、c2就可以联想到什么呢？生：勾股定理。师：所以说，这里可以令b2=a2-c2。好了，我们可以对这个式子再进行进一步的化简，请同学们观察一下的系数之间有什么关系？学生：它们的乘积刚好等于右边的常数。教师：同学们的观察还是非常仔细的。好，所以，我们可以对等式两边同时除以 。 就可以得到这就是焦点在轴上的椭圆的标准方程。师：刚才在建立直角坐标系时，我发现有些同学把F1、F2建在y轴上，以F1F2的中点为原点，那这样也充分利用了椭圆的对称性和简洁性，为什么我们不选择它呢？（稍停顿）其实这样也是可以的，我们只是把x轴和y轴对换了一下，那我们求出的椭圆的标准方程应该是。那这里的椭圆焦点就不在x轴上了，焦点
9、在y轴上。焦点在y轴上得出的方程同学们课后自己去验证一下。师：请同学思考：这里的大小关系如何？对比着两个方程和焦点的位置，考虑一下它们的大小与焦点所在的位置有什么关系？师：（指着直角三角形的各条边进行暗示）显然，且焦点在轴上。所以应该是哪个分母大，焦点就在哪个轴上。【设计意图】让学生自己观察，分析，得出结论，这样不仅能够使他们树立起对自己的信心，更重要的是在潜移默化中，使他们解决数学问题的能力得到了提高。（五）归纳概括，掌握特征（1）椭圆标准方程形式（2）椭圆标准方程中三个参数 , , 的关系（3）椭圆焦点的位置的确定。师：下面我们来对比一下椭圆的两种标准方程，看看他们有什么相同点和不同点，首先我们来看看相同点吧。（1）相同点椭圆标准方程形式：它们都是二元二次方程，左边是两个分式的平方和，右边是1；椭圆标准方程中三个参数 , , 的关系：；椭圆焦点的位
