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1、5.2.3 两种平面问题两种平面问题 弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是，如果所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊所考虑的弹性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题，外力，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题，只考虑部分的位
2、移分量、应变分量和应力分量即可。只考虑部分的位移分量、应变分量和应力分量即可。 平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题平面平面应力应力问题问题 厚厚度度为为 t t 的的很很薄薄的的均均匀匀木木板板。只只在在边边缘缘上上受受到到平平行行于于板板面面且且不不沿沿厚厚度度变变化化的的面面力力，同同时时，体体力力也也平平行行于于板板面面且且不不沿沿厚厚度度变变化。化。 以以薄薄板板的的中中面面为为xyxy面面，以以垂垂直直于于中中面面的的任任一一直直线线为为Z Z轴轴。由由于于薄薄板板两两表表面面上上没没有有垂垂直直和和平平行行于于板板面面的的外外力力，所所以以板板面面上上各各点点均有：均
3、有：平面应变问题平面应变问题 一一纵纵向向( (即即Z Z向向) )很很长长，且且沿沿横横截截面面不不变变的的物物体体，受受有有平平行行于于横横截截面面而而且且不不沿沿长长度度变变化化的的面力和体力，如图面力和体力，如图1-111-11所示。所示。 由由于于物物体体的的纵纵向向很很长长( (在在力力学学上上可可近近似似地地作作为为无无限限长长考考虑虑) )，截截面面尺尺寸寸与与外外力力又又不不沿沿长长度度变变化化；当当以以任任一一横横截截面面为为xyxy面面，任任一一纵纵线线为为Z Z轴轴时时，则则所所有有一一切切应应力力分分量量、应应变变分分量量和和位位移移分分量量都都不不沿沿Z Z方方向向
4、变变化化，它它们们都只是都只是x x和和y y的函数。的函数。此外，在这一情况下，由于对称此外，在这一情况下，由于对称( (任一横截面都可以看作对任一横截面都可以看作对称面称面) )，所有各点都只会有，所有各点都只会有x x和和y y方向的位移而不会有方向的位移而不会有Z Z方向的方向的位移，即位移，即 w = 0w = 0 因此，这种问题称为平面位移问题，但习惯上常称为因此，这种问题称为平面位移问题，但习惯上常称为平面应变问题。平面应变问题。 45.3 5.3 平面问题的有限单元法平面问题的有限单元法有限单元法的概念有限单元法的概念有限单元法的计算步骤有限单元法的计算步骤单元位移函数单元位移
5、函数单元刚度矩阵单元刚度矩阵整体刚度矩阵整体刚度矩阵单元载荷移置单元载荷移置边界约束条件的处理边界约束条件的处理（由例子可知）有限单元法的基本思路：（由例子可知）有限单元法的基本思路：(1) (1) 把物体分成有限大小的单元，单元间用结点相连接。把物体分成有限大小的单元，单元间用结点相连接。(2) (2) 把单元结点的位移作为基本未知量，在单元内的位移，设成把单元结点的位移作为基本未知量，在单元内的位移，设成线性函数线性函数( (或其它函数或其它函数) )，保证在单元内和单元间位移连接。，保证在单元内和单元间位移连接。(3) (3) 将结点的位移与结点的力联系起来。将结点的位移与结点的力联系起
6、来。(4) (4) 列出结点的平衡方程，得出以结点位移表达的平衡方程组。列出结点的平衡方程，得出以结点位移表达的平衡方程组。(5) (5) 求解代数方程组，得出各结点的位移，根据结点位移求出各求解代数方程组，得出各结点的位移，根据结点位移求出各单元中的应力。单元中的应力。 有限单元法的基本未知量是结点位移，用结点的平衡方程来有限单元法的基本未知量是结点位移，用结点的平衡方程来求解。求解。 5.3.1 5.3.1 单元与结构离散化单元与结构离散化 有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来代替原有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由有限个单元组成
7、的离来的连续体，因而必须将连续体简化为由有限个单元组成的离散体。散体。 一维问题一维问题 杆单元、梁单元杆单元、梁单元 平面问题平面问题 三角形单元、四边形单元、曲边单元等三角形单元、四边形单元、曲边单元等 空间问题空间问题 四面体单元、六面体单元、曲面六面体单元等四面体单元、六面体单元、曲面六面体单元等这些单元在结点处用铰相连，荷载也移置到结点上，成为结点这些单元在结点处用铰相连，荷载也移置到结点上，成为结点荷载。在结点位移或其某一分量可以不计之处，就在结点上安荷载。在结点位移或其某一分量可以不计之处，就在结点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。置一个铰支座或相应的连杆支座。单元划分的原则：单
8、元划分的原则：1 1）各相邻单元体必须同边、同顶点；）各相邻单元体必须同边、同顶点；2 2）结构厚度或弹性常数突变处应作为单）结构厚度或弹性常数突变处应作为单元间的分界线；元间的分界线；3 3）单元的大小主要根据计算精度和计算）单元的大小主要根据计算精度和计算机的运算速度确定。机的运算速度确定。85.3.2 5.3.2 单元位移函数单元位移函数 如果弹性体的位移分量是座标的已知函数，则可用几如果弹性体的位移分量是座标的已知函数，则可用几何方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个何方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续体，内部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来连续体，内
9、部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来描绘。有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划描绘。有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位分成若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化情况可近似地用简单函数来描绘。移变化情况可近似地用简单函数来描绘。9 对每个单元，可以对每个单元，可以假定一个简单函数假定一个简单函数，用它近似表示该，用它近似表示该单元的位移。这个单元的位移。这个函数称为位移函数函数称为位移函数，或称为，或称为位移模式位移模式、位位移模型、位移场。移模型、位移场。 对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示，对于平面
10、问题，单元位移函数可以用多项式表示，多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。 三结点三角形单元三结点三角形单元位移函数如下：位移函数如下： 所所选选用用的的这这个个位位移移函函数数，将将单单元元内内部部任任一一点点的的位位移移定定为为座座标标的线性函数，位移模式很简单。的线性函数，位移模式很简单。位移函数写成矩阵形式为：位移函数写成矩阵形式为：将水平位移分量和结点坐标代入将水平位移分量和结点坐标代入写成矩阵形式写成矩阵形式12 A为三角形单元的面积为三
11、角形单元的面积。令令13则同样，将垂直位移分量与结点坐标代入，可得同样，将垂直位移分量与结点坐标代入，可得 14其中其中15最终确定六个待定系数最终确定六个待定系数17（下标（下标i i，j j，m m 轮换）轮换）简写为简写为令令 NN称为形态矩阵，称为形态矩阵，N Ni i 称为位移的形态函数或称为位移的形态函数或简称形函数或插值函数。简称形函数或插值函数。 由位移函数可知：当由位移函数可知：当ui=1, uj=0, um=0 时，时，u = Ni；当当vi=1, vj=0, vm=0 时，时， v = Ni ，即函数，即函数Ni 表示了当节点表示了当节点i 产生单位位移而节点产生单位位移
12、而节点j、m分别产生零位移时，单元产生分别产生零位移时，单元产生的位移分布形态。的位移分布形态。19形函数具有如下性质：形函数具有如下性质：1）在节点上形函数的值有）在节点上形函数的值有2）在单元内任一点各形函数之和应等于）在单元内任一点各形函数之和应等于1，即，即 Ni + Nj +Nm =13) 对于现在的单元插值函数是线性的，在单元内部及单元的对于现在的单元插值函数是线性的，在单元内部及单元的边界上位移也是线性的，可由节点上的位移唯一确定。由于边界上位移也是线性的，可由节点上的位移唯一确定。由于相邻的单元公共节点的节点位移相等，因此保证了相邻节点相邻的单元公共节点的节点位移相等，因此保证
13、了相邻节点在公共边界上位移的连续性。在公共边界上位移的连续性。 选选择择单单元元位位移移函函数数时时，应应当当保保证证有有限限元元法法解解答答的的收收敛敛性性，即即当当网网格格逐逐渐渐加加密密时时，有有限限元元法法的的解解答答应应当当收收敛敛于于问问题题的的正正确确解解答答。因因此此，选选用用的的位位移移模模式式应应当当满满足足下下列列条件：条件：(1) (1) 位位移移模模式式必必须须在在单单元元内内连连续续，并并且且两两相相邻邻单单元元间间的的公共边界上的位移必须协调；公共边界上的位移必须协调；(2) (2) 位移模式必须包括单元的刚体位移；位移模式必须包括单元的刚体位移；(3) (3)
14、位移模式必须包含单元的常应变状态。位移模式必须包含单元的常应变状态。21 例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵NN。 由三角形的面积由三角形的面积 5.3.3 单元分析单元分析 （略）（略） 对三角形单元，建立结点位移与结点力之间的转换关系。对三角形单元，建立结点位移与结点力之间的转换关系。结点位移结点位移 结点力结点力 25 考虑上图三角形单元的实际受力，结点力和内部应力为：考虑上图三角形单元的实际受力，结点力和内部应力为： 26任意虚设位移，结点位移与内部应变为任意虚设位移，结点位移与内部应变为27令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为令实际受
15、力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为28 根据虚功原理，得根据虚功原理，得 这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之间这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之间的平衡方程。的平衡方程。 虚应变可以由结点虚位移求出：虚应变可以由结点虚位移求出：代入虚功方程代入虚功方程29接上式，将应力用结点位移表示出接上式，将应力用结点位移表示出令令 S = DB，称为应力矩阵。，称为应力矩阵。有有 令令 则则 30 由此，建立了单元的结点力与结点位移之间的关系，由此，建立了单元的结点力与结点位移之间的关系， Ke 称为称为单元刚度矩阵单元刚度矩阵。它是它是6*66*6矩阵，其元素表示该单元矩阵
16、，其元素表示该单元的各结点沿坐标方向发生单位位移时引起的结点力，它决的各结点沿坐标方向发生单位位移时引起的结点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。31把单元刚度方程写成分块矩阵的形式，有把单元刚度方程写成分块矩阵的形式，有单元刚度矩阵中某一子矩阵（或元素）单元刚度矩阵中某一子矩阵（或元素）k i j 的物理意义为的物理意义为：当当 j 节点产生单位位移而其它节点被完全约束时，在节点产生单位位移而其它节点被完全约束时，在 i 节点处节
17、点处产生的节点力。产生的节点力。32 单元刚度矩阵的性质单元刚度矩阵的性质1 1）单元刚度矩阵是对称阵）单元刚度矩阵是对称阵2 2）单元刚阵主对角线元素恒为正值；因为主对角元素）单元刚阵主对角线元素恒为正值；因为主对角元素 表示力的方向和位移方向一致，故功总为正值。表示力的方向和位移方向一致，故功总为正值。3 3）单元刚度阵是奇异阵，即）单元刚度阵是奇异阵，即|K|=0|K|=0，这是因为计算单元，这是因为计算单元刚度阵时没有对单元的节点加以约束，虽然，单元处刚度阵时没有对单元的节点加以约束，虽然，单元处于平衡状态，但容许单元产生刚体位移，故从单元刚于平衡状态，但容许单元产生刚体位移，故从单元
18、刚度平衡方程不可能得到唯一位移解只能得到唯一的节度平衡方程不可能得到唯一位移解只能得到唯一的节点力解。点力解。334 4）单元刚度阵所有奇数行的对应元素之和为零，）单元刚度阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行的对应元素之和也为零。由此可见，所有偶数行的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚度阵各列元素的总和为零。由对称性可知，单元刚度阵各列元素的总和为零。由对称性可知，各行元素的总和也为零。各行元素的总和也为零。34 单元分析的步骤可表示如下：单元分析的步骤可表示如下：单元综合单元综合 将离散化了的各个单元合成整体结构，利用结点平衡将离散化了的各个单元合成整体结构，利用结点平衡方程求出结点
19、位移。方程求出结点位移。 在位移法中，主要的任务是求出基本未知量在位移法中，主要的任务是求出基本未知量-结点结点位移。为此需要建立结点的平衡方程。位移。为此需要建立结点的平衡方程。i点总的结点力应为：点总的结点力应为： 根据结点的平衡条件，得根据结点的平衡条件，得 单元单元e e的结点力，可按式的结点力，可按式(2-2)(2-2)用结点位移表示，代入得到用用结点位移表示，代入得到用结点位移表示的平衡方程。结点位移表示的平衡方程。 每个可动结点有两个未知位移，有两个平衡方程，所以每个可动结点有两个未知位移，有两个平衡方程，所以方程总数与未知位移总数相等，可以求出所有的结点位移。方程总数与未知位移
20、总数相等，可以求出所有的结点位移。 单元综合的目的就是要求出结点位移。结点位移求出后，单元综合的目的就是要求出结点位移。结点位移求出后，可进一步求出各单元的应力。可进一步求出各单元的应力。5.3.4 总体刚度矩阵总体刚度矩阵 得到了单元刚度矩阵后，要将单元组成一个整体结构，得到了单元刚度矩阵后，要将单元组成一个整体结构，根据结点载荷平衡的原则进行分析，即整体分析。根据结点载荷平衡的原则进行分析，即整体分析。整体分析包括以下整体分析包括以下4 4个步骤：个步骤：建立整体刚度矩阵，建立整体刚度矩阵，根据支承条件修改整体刚度矩阵，根据支承条件修改整体刚度矩阵，解方程组，求出结点的位移，解方程组，求出
21、结点的位移，根据结点位移，求出单元的应变和应力根据结点位移，求出单元的应变和应力。38整体刚度矩阵的形式整体刚度矩阵的形式 整体刚度矩阵整体刚度矩阵 KK是单元刚度矩阵是单元刚度矩阵 KKe e 的的集成。集成。 1 1、刚度集成法的物、刚度集成法的物理概念：理概念： 刚度矩阵中的元素刚度矩阵中的元素是刚度系数，即由单位是刚度系数，即由单位结点位移引起的结点力。结点位移引起的结点力。（如图）（如图） 39 2 2、刚度矩阵的集成规则：、刚度矩阵的集成规则： 先对每个单元求出单元刚度矩阵先对每个单元求出单元刚度矩阵 ，然后将其中的，然后将其中的每个子块每个子块 送到结构刚度矩阵中的对应位置上去，
22、送到结构刚度矩阵中的对应位置上去，进行迭加之后即得出结构刚度矩阵进行迭加之后即得出结构刚度矩阵KK的子块，从而得出结的子块，从而得出结构刚度矩阵构刚度矩阵KK。 关键是如何找出关键是如何找出 中的子块在中的子块在KK中的对应位置。中的对应位置。这需要了解单元中的结点编码与结构中的结点编码之间的对这需要了解单元中的结点编码与结构中的结点编码之间的对应关系。应关系。 将单元刚度矩阵中的每个分块按总体编码顺序重将单元刚度矩阵中的每个分块按总体编码顺序重新排列后，可以得到单元的扩大矩阵。新排列后，可以得到单元的扩大矩阵。402 2、刚度矩阵的集成规则：、刚度矩阵的集成规则： 结构中的结点结构中的结点编
23、码称为结点的总编码称为结点的总码，各个单元的三码，各个单元的三个结点又按逆时针个结点又按逆时针方向编为方向编为 i, j, i, j, m,m,称为结点的局部称为结点的局部码。码。 41单元刚度矩阵中的子块单元刚度矩阵中的子块是按结点的局部码排列是按结点的局部码排列的，而结构刚度矩阵中的，而结构刚度矩阵中的子块是按结点的总码的子块是按结点的总码排列的。因此，在单元排列的。因此，在单元刚度矩阵中，把结点的刚度矩阵中，把结点的局部码换成总码，并把局部码换成总码，并把其中的子块按照总码次其中的子块按照总码次序重新排列。序重新排列。42单元编号单元结点局部编号单元结点整体编号1i31j11m22i52
24、j22m43i53j33m24i34j54m643单元（单元（2）的单元扩大矩阵的分块矩阵形式如下，只列出）的单元扩大矩阵的分块矩阵形式如下，只列出非零的分块：非零的分块：44用同样的方法可得出其他单元的扩大矩阵用同样的方法可得出其他单元的扩大矩阵 将各单元的扩大矩阵迭加，即得出结构刚度矩阵将各单元的扩大矩阵迭加，即得出结构刚度矩阵KK： 集成规则包含搬家和迭加两个环节：集成规则包含搬家和迭加两个环节： 1 1、将单元刚度矩阵、将单元刚度矩阵 中的子块搬家，得出单元的扩大中的子块搬家，得出单元的扩大刚度矩阵刚度矩阵 。 2 2、将各单元的扩大刚度矩阵、将各单元的扩大刚度矩阵 迭加，得出结构刚度
25、矩阵迭加，得出结构刚度矩阵KK。 ( (书中例题书中例题) )455.3.5 单元节点载荷移置单元节点载荷移置 连续弹性体离散为单元组合体时，为简化受连续弹性体离散为单元组合体时，为简化受力情况，需把弹性体承受的任意分布的载荷都向力情况，需把弹性体承受的任意分布的载荷都向结点移置结点移置( (分解分解) )，而成为结点载荷。如果弹性体，而成为结点载荷。如果弹性体所承受的载荷全都是集中力，则将所有集中力的所承受的载荷全都是集中力，则将所有集中力的作用点取为结点，就不存在移置的问题，集中力作用点取为结点，就不存在移置的问题，集中力就是结点载荷。但实际问题往往受有分布的面力就是结点载荷。但实际问题往
26、往受有分布的面力和体力，都不可能只作用在结点上。因此，必须和体力，都不可能只作用在结点上。因此，必须进行载荷移置。如果集中力的作用点未被取为结进行载荷移置。如果集中力的作用点未被取为结点，该集中力也要向结点移置。点，该集中力也要向结点移置。 将载荷移置到结点上，将载荷移置到结点上，必须遵循静力等效的原必须遵循静力等效的原则。静力等效是指原载荷与结点载荷在任意虚则。静力等效是指原载荷与结点载荷在任意虚位移上做的虚功相等。位移上做的虚功相等。在一定的位移模式下，在一定的位移模式下，移置结果是唯一的，且总能符合静力等效原则。移置结果是唯一的，且总能符合静力等效原则。在线性位移模式下，对于常见的一些载
27、荷，可在线性位移模式下，对于常见的一些载荷，可以通过简单的虚功计算，得出所需的载荷列矩以通过简单的虚功计算，得出所需的载荷列矩阵。阵。47 均质等厚度的三角形单元所受的重力，把均质等厚度的三角形单元所受的重力，把1/31/3的重力移到的重力移到每个结点。每个结点。内部集中力 2 2、边上集中力、边上集中力 总载荷的总载荷的2/32/3移置到结点移置到结点i i，1/31/3移置到结点移置到结点j j，与与原载荷同向。原载荷同向。 载荷向结点的移置，可载荷向结点的移置，可以用普遍公式来表示。以用普遍公式来表示。体力的移置体力的移置分布面力的移置分布面力的移置在线性位移模式下，用在线性位移模式下，
28、用直接计算法简单；非线直接计算法简单；非线性模式下，要用普遍公性模式下，要用普遍公式计算。式计算。5.3.6 边界约束条件的处理边界约束条件的处理 总刚度矩阵是奇异矩阵，不存在逆矩阵，因此要求得总刚度矩阵是奇异矩阵，不存在逆矩阵，因此要求得唯一解，必须利用边界条件对总刚度方程进行处理，唯一解，必须利用边界条件对总刚度方程进行处理，消除总刚度矩阵的奇异性。消除总刚度矩阵的奇异性。边界约束条件的处理实质是消除结构的刚体位移，以边界约束条件的处理实质是消除结构的刚体位移，以求得节点位移；求得节点位移；边界条件也是假定在节点上受到约束。节点位移为零边界条件也是假定在节点上受到约束。节点位移为零时，称为
29、零位移约束；否则，称为非零位移约束（弹时，称为零位移约束；否则，称为非零位移约束（弹性支承，支座的沉陷）。性支承，支座的沉陷）。51位移约束常分为：节点固定和给定节点位移两种约束。位移约束常分为：节点固定和给定节点位移两种约束。由于引入位移约束条件通常在整体刚阵及节点载荷形成由于引入位移约束条件通常在整体刚阵及节点载荷形成后进行，即此时后进行，即此时K、R中的元素均已按一定顺序分别中的元素均已按一定顺序分别储存于相应的数组，故引入位移约束时，要求尽量不要储存于相应的数组，故引入位移约束时，要求尽量不要打乱打乱K、R的储存顺序。的储存顺序。引入约束的方法常有：引入约束的方法常有：1）降阶法）降阶
30、法2）对角元素置）对角元素置1法法3）对角元素乘大数法）对角元素乘大数法525354555.4 轴对称问题的有限元法轴对称问题的有限元法 如果弹性体的几何形状、边界条件和载荷都对如果弹性体的几何形状、边界条件和载荷都对称于某一轴线，则弹性体受载时的位移、应变和应称于某一轴线，则弹性体受载时的位移、应变和应力也都对称于这个轴线，这类问题称为轴对称问题。力也都对称于这个轴线，这类问题称为轴对称问题。 对于轴对称问题，采用圆柱坐标比较方便。设对于轴对称问题，采用圆柱坐标比较方便。设x轴为对称轴，轴为对称轴，r为径向，为径向，为周向，为周向，OABOAB平面称为子平面称为子午面。因位移、应变等对称于午
31、面。因位移、应变等对称于x x轴，与轴，与无关，因此无关，因此原来三维空间问题可简化为原来三维空间问题可简化为 以以x x、r r为变量的二维问题。为变量的二维问题。56本章复习的要点本章复习的要点1.1.试述有限元分析的基本思想和基本步骤。试述有限元分析的基本思想和基本步骤。2.2.有限元网格划分的基本原则是什么？有限元网格划分的基本原则是什么？3.3.什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？4.4.载荷移置的等效原则是什么？载荷移置的等效原则是什么？5.5.轴对称问题在位移和应力、应变上有什么特点？轴对称问题在位移和应力、应变上有什么特点？6. 6. 如图所示，设桁架的长度为如图所示，设桁架的长度为l，截面积为，截面积为A A，材料，材料弹性模量为弹性模量为E E，单元的位移函数为，单元的位移函数为u (x)=a1 1+ +a2 2x，用用虚位移原理导出其单元刚度矩阵。虚位移原理导出其单元刚度矩阵。7. 对于线性位移函数的三角形单元，试推导其位对于线性位移函数的三角形单元，试推导其位移函数。移函数。57
