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1、高三数学总复习教程（第4讲）一、本讲进度 集合的概念和运算集合的概念、集合间关系、集合的运算二、 习指导集合的三特性元素的确定性，无序性、互异性揭示了集合的本质，它是我们解一些集合问题的钥匙，理解集合，子集、补集、交集、并集、空集、全集的意义，对属于包含、相等关系的定义要掌握相关术语和符号会改、会写，对集合的文字表达，符号表达及图示（韦恩图）要能转换自如。三、 型例题讲评例1已知集合A=，B=，A=B，求x，y的值。本题考查集合相等的概念及集合的特性。如一般地考虑分成xy=0，x+y=0和xy=0三种情况，费时费力，比较合理的思路是：10. 根中元素的互异性，B中x2y20，故A中xy，x+y
2、均不为0，从而xy=0；20. 再根据元素的互异性：x+yxy，知y0而x=030.于是有y=y2和y=y2两种方案，据y0知y=1.例2已知集使A=，B=，AB=，求实数a的取值范围.先易后难，先明后暗，这是解题的策略，故先写出集合B=2，4.方程y2(a2+a+1)y+a(a2+1)=0的两根为a，a2+1，而a2+12a，且等号不能都成立，故A=（，a）（a2+1，+），AB=a（，），2本题中，最易出错的地方是把写为，做题时必须把边界处仔细推敲。例3已知函数y=3x+1的定义域为A=，值域为B=求a+b+c+d.本题涉及到的知识为集合的特性，映射及道映射.分别令3x+1= 4，7，知1
3、，2A.又3的象为10.若a3+3a=10，知a=2或5，相应地，a3+5a2+2a+20=52或10，故a=5时，a2+3a与a3+5a2+2a+20相同，舍去，若a3+5a2+2a+20=10，即(a+5)(a2+2)=0，a=5，相应地，a2+3a=10，亦应舍去.a=2，令52=3x+1，x=17知17A.a+b+c+d=2+17+1+2=22.本题中并没有确定（也无法确定）b、c、d分别是什么，而是从总体考虑“它们是什么”，这可能是读者不习惯的所在.例4已知函数f(x)=x+1，g(x)=x2，A=1，a（a1），求使集合A=与集合B=相等的实数a的值.本题涉及一次函数的值域（指定定
4、义域）和二次函数的值域（指定定义域）两个知识点及分类讨论的数学思想。一次函数f(x)=x+1，x1，a是单调递增函数，A=0，a+1，而B集合是指定了定义域的二次函数，不一定是单调的决不能简单地“代两头”而说它的值域是1a2（按这样的错误想法，A、B是决然不会相等的），故该讨论：10. 若a（1，0），则g(x)单调递减，B=a2，1不可能与集合A相等。20. 若a0，1，则B=0，1，要与A相等，须a+1=0，a=0，30. 若a（1，+），则B=0，a2，要与A相等，须a+1=a2，a=但1，舍去.a=0或例5已知集合A=，集合B=，A=B是否可能成立？如可能成立，求出使A=B的a的取值范
5、围，如不可能成立，说明理由.本题两集合是用描述法表示的，在“元素的形式”这一部分分别用了x、y，不能据此认为“元素的形式不同，故不可能相等”因它们只不过用以表达的字（代号）不同，实质是一样的，即元素的形式是“数”。它所能否相等，只要看它们所表示的数集是否相同。当a0时，A=0，a，B=0，要A=B，须a=，a=2.当a0时，A=a，0，B=，0，要A=B，须a=，a=2.当a=0时，A=，B=，满足A=B根据上面的讨论知，A与B两集合有可能相等，只需a即可.例6定义域为的奇函数f(x)在（0，+）上单调递增，而f(1)=0，设函数g(x)=sin2x+kcosx2k（x0，）集合M= N=，求
6、MN.本题如先分别求出M、N，再求它们的交集，费时费工，因为其中有一部分是重复劳动。fg(x)是复合函数，我们应先由fg(x)0，求出相应g(x)应满足的条件，再进一步求MN中g(x)满足的条件，这样做事半功倍。先据f(x)是奇函数f(1)=0，（0，+）上增，证明f(1)=0，f(0)在（，0）上也增，从而说明fg(x)0的充要条件是f(x)（，1）（0，1）.又N中要求g(x)0，MN要求g(x)1，即k= 4（2cos）+，右边当cos=2时有最大值42，k42.MN=(42，+).当然，更多的同学是下面的思路：由g(x)1知cos2xkcosx+2k20，记u=cosx0，1，则即u2
7、ku+2k20.10. 当0，1，即k0，2时，f(u)=u2ku+2k2的最小值为2k2须0，k（42，4+2）.k（42，2）20.当1.即k2时，f(u)min=f(1)=k10，k1.k230. 当0，即k0时，f(u)min=f(0)=2k20，k1.k综上，k(42，+)第一种思路是以k为主，把问题转化为求分式函数f(x)=，x0，1的最小值；第二种思路是以u=cosx0，1为主，讨论二次函数f(u)=u2ku+2k2的最小值.两者都是解决这类问题的常用办法.例7已知集合A=，B=，C=，是否存在正整数k与b，使（AB）C=？涉及的第一个知识点是集合的运算：（AB）C=AC=且BC
8、=.第二个知识点是两曲线的交点：，消去y，(kx+b)2=x+1消去y，4x2+2x+14=2(kx+b) 即4x2+2x(1k)+12b=0无解故.(kN+，故不由考虑k=0)至此，许多同学会遇到障碍：面对二元不等式组，如何“消去”？这与方程消去当然不同，由于两式中b都是一次的，故可得，虽可得一高次不等式，k3+6k219k+20，我们都无从解出，有理却无力.因此，我们通过估值另辟径：从而1b，又bN+，b=2.再代回原不等式组：分别解得又kN+，k=1.存在自然数k=1，b=2，满足题设条件四、 巩固练习1B 集合A=，B=，AB=，则a的值为（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）12
9、B AB=，M=，N=，则下列各式错误的是（ ）（A）MN= （B）MN= （C）MN （D） MN3A 集合A=，则A=（ ）（A）（，1） （B） （C）（1，+） （D）（3，4）4C 函数y=lgx2+(m3)x+的定义域为A，值域为B，集合M=，N=，则有（ ）（A）MN= （B）MN （C）MN （D）M N=R5B 已知集合M=，求a的取值范围.6C 设集合M=，MZ=，求a的取值范围.7B M=，N=，若MN.求a、b关系.8B 已知f(x)为一次函数，集合A=，B=，若A为单元素集，求证：B=A或B=k.9B 已知集合A=，B=，全集U=R，（）B，求a的取值范围.10C 已
10、知集合A=，B=，C=（1）A与B两集合的关系如何？（2）A与C两集合的关系如何？（3）求CZA.11B 已知集合A=，B=，若AB恰为某正八边形顶点的集合，求a.12B A=，若AR+=，求a的取值范围.13A U=，A=，B=，D=，写出下列各式的含义：（1）（CUA）B=，（2）（AD）CUA=U14B 求下列不等式的解集：（1）2x+2（2）2x（3）x115已知集合A=，B=.（1）若AB，求a的取值范围.（2）记点集AB的面积为f(a)，注f(1，5).五、参考答案13B，而a2+11，a3=3或2a1=3，即a=0或1.但a=0时，A中的a+1与B中的a2+1均为1，与AB=矛盾
11、，a=1，选（D）2AB=，M与N有且仅有一个公共元素中，故（B）、（C）、（D）都对，选（A）3f(x)=+= 知f(x)1.要使f(x)a有解，须a1，选（C）4要使A=R，即x2+(m3)+0恒成立，其充要条件是=(m3)290，m(0，6).要使B=R，须x2+(m3)+的值域R+，即0，m6或0，选（A）5当a0时，M不可能是R+的子集，a0.M，(a+1)2+4a0，MR+，故两根均正.即0，且0，解得a32a（，32）.61M，loga10(a1)loga15，a（1，），此时原不等式即010(ax)205x2，记u=ax0则有f(u)=u2+2(1a)u+a240，相应于x=0
12、和x=2的u为a及a2,a2.a7N为某开区间或，故a0时，M不可能是N的子集，a0，此时两个不等式之=b24a0， M=（，）（注意，两端不要搞颠倒了）N=（，）要使MN，须于是有即a1 （a1）8设f(x)=kx+b，(k0)，kx+b=x，(1k)x=b，解集为单元素集，k1，于是ff(x)=kf(x)+b=k(kx+b)+b.方程k2x+kx+b=x，即(1k2)x=b(k+1)若k=1，则B=k，若k1，则x=，与f(x)=x用解，B=A.9152xx20，知x5，3，y=a(x+1)2+1a+1，知B=，CUA=（，5）（3，+），要使(CUA)B=k，须a+13，a10（1）对任
13、一x=2k1B，都有x=k2(k1)2 A， BA.（2）对任一xC，必存在p=mn.q=mn，(m1 ，m2n1，n2Z)，使x=( mn.)( mn)=( mm+nn)(mn+ mn)= (mm+2m1m2n1n2+nn)(mn+2m1n2m2n1+ mn) =(m1m2+n1n2)2(m1n2+m2n1)2ACA.(3)4(2k1)=(2k)22(k1)2AA.而4m+2 (mZ)，若属于A，即4m+2=p2q2，则p、q必同奇偶，但(2k1)2(2k2)2=4(k1+k2)(k1k2)，而(2k1)2(2k21)2= 4(k1k2)(k1+k21)，均为4的倍数4m+2A综上，CEA=11A与B对应的图形都是关于原点， x轴，y轴对称的，当2a1时，两图形才会有8个交点，在第一象限内两点坐标为（a1，1），（1，a1），要构成正八边形，应有2（a1）=(2a)，a=12=(a+2)240或，知a413（1）该届出国者中无女生（2）该届男生全部当1公务员.14（1）当x4时，原不等式即(2x+5) (x4)2x+3，x6 x6当x时，原不等式即2x+5+x42x+3，x2，x当x5时，原不等式即(2x5)+x42x+3，x4x综上，解集为（6，+）（2）x(，5)，（3）当x
